正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

題目大意

給出\(E\)和\(n\)個\(s_i,k_i,u_i\)求一個序列\(v_i\)滿足

的情況下最小化

\(1\leq n\leq 10^4\)

解題思路

洛谷題解上一個十分神奇的做法看起來。（主要是看不懂拉格朗日乘數法/kk）

首先考慮對於段路的行駛時間\(t_i=\frac{s_i}{v_i}\)，我們可以畫出消耗的能量\(E\)和\(t_i\)的函式。

對於函式\(f(E)=t_i\)不難發現的是在\(v_i\geq u_i\)的情況下\(E\)越小這個函式對應位置的導數越小。

也就是消耗單位能量減少的時間也就越少，價效比就越低。而我們現在要給每段路分配一個\(t_i\)使得消耗能量和等於\(E\)且\(t_i\)和最小的話。

根據貪心的思想有選出若干個的\(t_i\)滿足對應位置的導數相等。

那麼我們就找到了所有路的共性，考慮二分這個導數，但是我們先對這個函式\(f(v)=\frac{t}{E}\)求個導。

然後我們二分出\(f'(v_i)=x\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){
	double l=max(v[p],0.0),r=100000;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double V=(l+r)/2.0;
		if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;
		else r=V;
	}
	return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){
	double E=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double V=getv(x,i);
		E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);
	}
	return E;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
	double l=-1e5,r=0;
	for(int i=1;i<=100;i++){
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)<=E)l=mid;
		else r=mid;
	}
	double mid=(l+r)/2.0,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=s[i]/getv(mid,i);
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}