【Luogu P5752】[NOI1999] 棋盤分割

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洛谷

題目大意：

將一個 8 \(\times\) 8 的棋盤進行如下分割：將原棋盤割下一塊矩形棋盤並使剩下部分也是矩形，再將剩下的部分繼續如此分割，這樣割了 \((n-1)\) 次後，連同最後剩下的矩形棋盤共有 \(n\) 塊矩形棋盤。 (每次切割都只能沿著棋盤格子的邊進行)

原棋盤上每一格有一個分值，一塊矩形棋盤的總分為其所含各格分值之和。現在需要把棋盤按上述規則分割成 \(n\) 塊矩形棋盤，並使各矩形棋盤總分的均方差最小。

均方差 \(\sigma = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 } { n }}\)

請程式設計對給出的棋盤及 \(n\) ，求出 \(\sigma\) 的最小值。

正文：

本題可以考慮先求出方差，在求出答案後輸出其開根的結果，這樣比較好算。

然後考慮二位區間 DP，其實思路很好想，用記憶化搜尋做。

程式碼：

const int N = 20;

inline ll Read()
{
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') f = -f, c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}

int n;
int a[N][N];
long double f[N][N][N][N][N], barx;

long double Sum(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
	long double x = a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1] - barx;
	return x * x / n;
}

long double DFS(int x1, int y1, int x2, int y2, int k)
{
	if (f[x1][y1][x2][y2][k] >= 0) return f[x1][y1][x2][y2][k];
	if (k == 1) return f[x1][y1][x2][y2][k] = Sum(x1, y1, x2, y2);
	f[x1][y1][x2][y2][k] = 1e9;
	for (int i = x1; i < x2; i++)
		f[x1][y1][x2][y2][k] = min(f[x1][y1][x2][y2][k], DFS(x1, y1, i, y2, k - 1) + Sum(i + 1, y1, x2, y2)),
		f[x1][y1][x2][y2][k] = min(f[x1][y1][x2][y2][k], DFS(i + 1, y1, x2, y2, k - 1) + Sum(x1, y1, i, y2));
	for (int i = y1; i < y2; i++)
		f[x1][y1][x2][y2][k] = min(f[x1][y1][x2][y2][k], DFS(x1, y1, x2, i, k - 1) + Sum(x1, i + 1, x2, y2)),
		f[x1][y1][x2][y2][k] = min(f[x1][y1][x2][y2][k], DFS(x1, i + 1, x2, y2, k - 1) + Sum(x1, y1, x2, i));
	return f[x1][y1][x2][y2][k];
}

int main()
{
	n = Read();
	for (int i = 1; i <= 8; i++)
		for (int j = 1; j <= 8; j++)
			a[i][j] = Read(), 
			a[i][j] += a[i][j - 1] + a[i - 1][j] - a[i - 1][j - 1];
	barx = a[8][8] * 1.0 / n;
	memset (f, -1, sizeof f);
	double ans = DFS(1, 1, 8, 8, n);
	ans = sqrt(ans);
	printf ("%.3f\n", ans);
	return 0;
}