線性代數相關

行列式相關

定義

1. 行列相等，自身有運算
2. n的二次方個數n行n列，為n階行列式
3. 在n階行列式中，把某元素的所在的i行和j列劃去後，留下的n-1階行列式是該元素的餘子式，記為Mij
4. 代數餘子式：i+j為奇數，代數餘子式取負號，反之取正號，記為Aij

性質：

1. 行列式與它轉置行列式值相等
2. 互換行列式的兩行(列)，行列式變號
3. 數k乘行列式等於其某一行(列)中所有元素乘以數k
4. 若某行(列)元素都是兩個數的和，則可拆分成兩個相加
5. 某行(列)個各元素同乘數k，加到另一行(列)對應元素上，行列值不變

推論：

1. 兩行(列)完全相等，行列式等於零
2. 某行(列)所有元素含公因子k，k可提到行列式符號外
3. 兩行(列)成比例，行列式等於零
4. 行列式任意一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數餘子式乘積之和為常數0

計算：

1. 定義法：對角線法則(適用於二三階)
2. 降階法：利用性質拆封成低階
3. 化三角形法：上三角、下三角
4. 定理法：n階行列式等於它任意一行(列)的所有元素與它們對應的代數餘子式乘積之和

應用：

利用克萊姆法則求解線性方程組

矩陣相關

定義：

1. 有m*n個數排成的m行n列的數表，大寫字母A,B等表示
2. 行數和列數分別對應的兩個矩陣為同型矩陣
3. 特殊矩陣：行(列)矩陣[僅有一行(列)]，零矩陣[元素都為0]，方陣[行列相同]，對角矩陣[僅主對角元為非零]，單位矩陣E[主對角元都為1]，三角矩陣[主對角線上(下)方都為0]

運算：

加法：設A,B,C為同類型矩陣，O為同型零矩陣，則
1. A+B=B+A (交換律)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (結合律)
3. A+O=O+A=A
4. A+(-A)=O

數與矩陣相乘：設A,B為同類型矩陣，p,q為常數，則
1. (pq)A=p(qA)
2. (p+q)A=pA+qA
3. p(A+B)=pA+qB
4. 1A=A

矩陣乘法：1陣列數需等於2陣行數，乘積的行數等於1陣行數，列數等於2陣列數
1. (AB)C=A(BC)
2. k(AB)=(kA)B=A(kB),s為數
3. A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA
4. EmAm*n=A;Am*nEn=A
注意：不滿足交換律、消去律，兩個非零的矩陣的乘積可能是零矩陣，只有是方陣時才能使矩陣的冪有意義

轉置：

行列轉換的矩陣，有以下運算規律:
1. A的轉置的轉置=A
2. (A+B)的轉置=A的轉置+B的轉置
3. (kA)的轉置=k*A的轉置
4. (AB)的轉置=B的轉置*A的轉置

矩陣的初等變換和秩

初等行變換：

1. 交換矩陣的兩行
2. 矩陣某一行元素同乘一個不為零的數
3. 矩陣某一行元素同乘一個不為零的數並加到另一方對應元素上
變換方法：從左至右，從上到下

行階梯形矩陣，簡稱為階梯形矩陣的條件：
1. 零行(元素都為0)位於最下方
2. 首非零元的列標隨著行標的遞增而嚴格增大

最簡階梯型矩陣，簡稱行最簡的條件：每個非零行第一個非零元素為1，且該列其餘元素全為0

注意：
1. 變化過程中，原矩陣到新矩陣之間只能畫箭頭，不能畫等號，行變換寫在箭頭上，列變換在箭頭下
2. 行階梯形於行最簡不是唯一的

矩陣的秩

• 定義：利用初等行變換把矩陣A化為階梯形矩陣，非零行數為r，稱r為矩陣A的秩，記作r(A)=r

逆矩陣

定義

1. 設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，滿足：AB=BA=E則稱A是可逆的(A可逆)，稱B為A的逆矩陣
2. 由n階方陣A的元素構成的行列式，稱為方陣A，記作|A|或detA
3. 伴隨矩陣A*:代數餘子式轉置組成的方陣
4. 若n階矩陣A的行列式不為零，即|A|不等於零，則稱A為非奇異矩陣(與可逆等價)，否則為奇異矩陣

定義:

矩陣A,B:
1. (A逆)的逆=A
2. (A轉置)的逆=A的轉置+B的轉置
3. (AB)的逆=B的逆*A的逆
4. (A轉置)的逆=(A逆)的轉置
5. |A逆|=1/|A|

求逆矩陣:

• A逆=1/|A|*A的伴隨矩陣
• 初等變換法:(A E)->(E A逆)
注意:n階的充分必要條件為:|A|不等於0 設AX=B,求X:(A B)->(E A逆*B),解X=A逆*B

線性方程組的解

解的討論:

A為方程組的係數矩陣,B為常數矩陣,(A B)稱為增廣矩陣,符號為A頭上上加橫線 常數項都為0的方程組為其次方程組,反之為非齊次

齊次:必有一解x=0
• 只有零解:|A|不等於0
• 有非零解:|A|=0

非齊次:
• 唯一解:|A|不等於0
• 無窮多解:r(A)=r(A|B)
• 無解:r(A)

矩陣求解線性方程組:

初等變換求解:
1. 寫出對應的增廣矩陣
2. 初等變換化增廣矩陣為行階階梯形或行最簡
3. 如果化簡後出現0=d而d不等於0,則無解,否則,化簡後的增廣矩陣對應方程組的解就是原方程的解
注意:適當利用換行,將"簡單"行換到前面,利用它化簡其他行,會使計算簡單

逆矩陣法求解:
1. 寫出對應的係數矩陣A,常數矩陣B
2. 若B=0,求矩陣A的行列式|A|;若|A|=0則有無窮多非零解,|A|不等於0時只有零解;若B不等於0,|A|=0則無解或有無窮多解,|A|不等於0則有唯一解;將方程組寫成矩陣AX=B
3. 求A逆
4. 求出X=A逆*B,X即為解