使用均攤分析證明Splay複雜度

（PS：終於知道了二叉搜尋樹（\(binary search tree\)）為什麼叫\(BST\)。）
平衡樹的一種，靠著旋轉來保證複雜度。

怎麼旋轉？這已經說爛了，我比較關心的是\(splay\)的複雜度怎麼證明，和為什麼一定要使用雙旋操作。

（PS：\(Splay\)居然是\(Tarjan\)發明的)
本篇部落格證明思路提供於Splay複雜度的證明
但是我看不懂然後借鑑了伸展樹（Splay）複雜度證明
但是我看不懂然後借鑑了均攤分析 學習筆記
但是我看不懂然後借鑑了均攤分析簡介
吐了
演算法導論yyds

######以下證明並不嚴謹######

均攤分析

\(Splay\)

設\(c_i\)為第i次操作的實際代價。\(\phi_i\)是第\(i\)次操作之後的勢能。

設\(c_i+\phi_i-\phi_{i-1}\)是第\(i\)次操作的均攤代價。

則\(n\)次操作的均攤代價為\(a_i=\sum_{i=1}^n(c_i+\phi_i-\phi_{i-1})=\sum_{i=1}^nc_i+\phi_n-\phi_{0}\)

如果我們設的勢能\(\phi_i\)都是不小於0的數，那麼\(\phi_n-\phi_0>=0\)。特別地一般令\(\phi_0=0\)

如果我們算出了總均攤代價的上界，我們就可以得出真實代價的上界。

樸實地說：真實代價\(<\)均攤代價\(\leq\)均攤代價上界。

這樣看均攤代價的上界一定是比真實代價的上界好求的，為什麼加了勢能之後反而好求了呢？帶著問題思考。

Splay的均攤分析

設\(\mu_x=log_2(size(x))\)其中\(size(x)\)代表x子樹的大小。

設\(\phi_x=\sum_{i=1}^n\mu(i)\)，任何時候\(\phi_x\)顯然是小於\(nlogn\)的，這個上界十分寬鬆。

zig（zag）的分攤分析

因為兩操作等價，這裡只分析zig

顯然均攤代價\(a(i)=1+\mu(x')+\mu(y')-\mu(x)-\mu(y)\)

這裡的1並不是真的1，而是代表這一次旋轉操作的真實代價，是一個常數。（下面證明中出現的1也是一樣的）

\(\because \mu(y)=\mu(x') \ \therefore a(i)=1+\mu(y')-\mu(x)\)

\(\because \mu(y')<\mu(x') \ \therefore a(i)<1+\mu(x')-\mu(x)\)

zig-zig（zag-zag）的分攤分析

\(a(i)=\mu(x')+\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)-\mu(z)+1\)

\(\because \mu(z)=\mu(x') \ \therefore a(i)=\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)+1\)

\(\because \mu(y')<\mu(x') \ ,\ \mu(x)<\mu(y) \ \therefore a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)\)

先把式子放在這裡，轉去證明\(\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')<-1\)

\(\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')=log(\frac{size(x)}{size(x')})+log(\frac{size(z')}{size(x')})=log(\frac{size(x)size(z')}{size(x')^2})\)

由上圖可知\(size(x')=size(x)+size(z')+1\)即\(size(x')>size(x)+size(z')\)

\(\therefore\)原式\(<log(\frac{size(x)size(z')}{(size(x)+size(z'))^2})<log(\frac{size(x)size(z')}{2size(x)size(z')})=-1\)

\(\therefore -1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')>0\)

把\(a(i)\)加上這個正數顯然有\(a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)-1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')\)

這裡注意了：式子中兩個1不一樣，第一個1是代表這個操作的真實代價是一個常數，第二個1就是實實在在的1，但是把這個1和勢能的單位同時增大之後可以把前面的代表常數的1消掉。

故\(a(i)<3(\mu(x')-\mu(x))\)

zig-zag（zag-zig）的分攤分析

用跟上面幾乎完全一樣的方法可以得到：

\(a(i)<2(\mu(x')-\mu(x))\)

因為zig（zag）操作一個splay操作中只會用一遍這樣整個一次splay操作地均攤複雜度為：
\(1+\sum^n (\mu(x'_i)-\mu(x_i))=1+\mu(root)-\mu(x)\)近似為\(logn\)

所以均攤複雜度為\(logn\)

這也解釋了為什麼不能一直單旋，因為那個常數1處理不掉，會使複雜度爆掉。