【題解】P3698 [CQOI2017]小Q的棋盤

【題解】P3698 [CQOI2017]小Q的棋盤

題目大意

給定一棵無根樹，求從根節點出發移動N步最多可經過多少節點，節點可重複經過，但不重複計數

Solution

既然是最優化問題，考慮樹形DP
容易想到，設\(f[x][i][0/1]\)表示在x這棵子樹上走\(i\)步，是否(\(0\)表示否，\(1\)表示是)回到根節點，最多經過節點個數
然後就是我一開始推的狀態轉移方程（其實是錯的）：

\[f[x][i][0]=max\{f[x][i][0],f[x][i-c][1]+f[y][c-1][0]\} (1<=c<=i) \]\[f[x][i][1]=max\{f[x][i][1],f[x][i-c][1]+f[y][c-2][1]\}(2<=c<=i) \]

意思分別是：

• 在x這棵子樹上走\(i\)步，不回到根節點，最多經過節點個數\(=\)在x這棵子樹的前（j-1）個兒子中走\((i-c)\)步，回到根節點，最多經過節點個數+在x第j個兒子這棵子樹上走(c-1)步，不回根節點最多經過的節點個數 [（i-c）+(c-1)=(i-1)，還有1步是從x走到sonx（j）]
• 在x這棵子樹上走\(i\)步，回到根節點，最多經過節點個數\(=\)在x這棵子樹的前（j-1）個兒子中走\((i-c)\)步，回到根節點，最多經過節點個數+在x第j個兒子這棵子樹上走(c-2)步，回到根節點，最多經過的節點個數 [（i-c）+(c-2)=(i-2)，還有2步是從x走到sonx（j）再走回來]

交上去以後Wa了3個點

開始查錯，發現狀態轉移錯了

如下圖

正確答案為紅線標註，為5，但我的程式輸出4

錯誤在於這個式子漏了一種情況

\[f[x][i][0]=max\{f[x][i][0],f[x][i-c][1]+f[y][c-1][0]\} (1<=c<=i) \]

不回到根節點有兩種情況;

1. 在前（j-1）個兒子裡先走回來，再在第j個兒子裡走下去，不回來
2. 在第j個兒子裡走回來，再在前（j-1）個兒子裡走下去,不回來

我的式子中不包含第2種

所以Right Answer：

\[f[x][i][0]=max\{f[x][i][0],f[x][i-c][1]+f[y][c-1][0]，f[x][i-c][0]+f[y][c-2][1]（c>=2)\} (1<=c<=i) \]\[f[x][i][1]=max\{f[x][i][1],f[x][i-c][1]+f[y][c-2][1]\}(2<=c<=i) \]

在這道題中我還犯了一個錯誤，一開始沒有倒序迴圈，具體見程式碼

總結

一道樹上揹包好題，體積為步數，價值為經過的節點數
通過這道題，明白了樹上揹包轉移時，實際上一個狀態被滾動了，其相當於揹包中的前幾個物品，即當前節點的前幾個兒子

Code

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int>s[105];
inline int read()
{
	register int x=0,w=1;
	register char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') {ch=getchar();w=-1;}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();	}
	return x*w;
}
const int M=1e6+10;
int v,n,f[105][105][2];
void dfs(int x,int fa)
{
	for(int i=0;i<=n;++i) f[x][i][1]=f[x][i][0]=1;
	for(int i=0;i<s[x].size();++i)
	{
		int y=s[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		for(int j=n;j;--j)//倒序迴圈，原因類似01揹包，否則兒子j這顆子樹會被重複選
		  for(int c=1;c<=j;++c)
		    {
		    	f[x][j][0]=max(f[x][j][0],f[x][j-c][1]+max(f[y][c-1][0],f[y][c-1][1]));
		    	if(c>=2) f[x][j][0]=max(f[x][j][0],f[x][j-c][0]+f[y][c-2][1]);
			}
		for(int j=n;j;--j)//同上
		  for(int c=2;c<=j;++c)
		    {
		    	f[x][j][1]=max(f[x][j][1],f[y][c-2][1]+f[x][j-c][1]);
//		    	f[x][j][1]=max(f[x][j][1],f[x][j-c][1]+f[y][c-2][1]);
			}	
	}
}
int main()
{
    v=read();n=read();
    int a,b;
	for(int i=1;i<v;++i){
    	a=read();b=read();
    	s[a].push_back(b);
    	s[b].push_back(a);
	}
	dfs(0,-1);
	cout<<max(f[0][n][0],f[0][n][1])<<endl;
	return 0;
}
/*
5 5
1 0
1 2
1 3
2 4
*/