貝葉斯公式經典例題
先看原題:
某地區居民的肝癌發病率為0.0004 ,現用甲胎蛋白法進行普查。醫學研究表明,化驗結是有錯檢的可能的。已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性, 而沒患肝癌的人其化驗結果99.9% 呈陰性。現某人的檢查結果呈陽性,問他真的患有肝癌的概率是多少?
先說答案，一個人化驗結果呈陽性，則他患有肝癌的概率是28.4%。
乍一看，覺得這個概率真的好小，看題設裡說的，患有肝癌的人，99%的概率是化驗結果呈陽性（1%的誤判是技術等其他原因導致的）。那為什麼反過來，一個人化驗結果呈陽性，則他患有肝癌的概率概率就變成了28.4%，這似乎有點違背常識。
解題
我們先把題設化成圖，便於取數計算。
解：
設A={該患者是肝癌患者}，B={該患者檢驗呈陽性}
求\(P(A|B)\)
則
\[P(A) = 0.9996 \\ P(\overline{A})=0.0004 \]由貝葉斯公式可知:
\[P(A|B) ={P(AB)\over P(B)}= {P(A)P(B|A)\over P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) } \]這裡分子的展開使用了 乘法公式，分母的展開使用了 全概率公式。
我們依次求每一項：
\(P(B|A)\)代表是肝癌患者的前提下，檢測呈陽性的概率。我們已經知道了是 0.99
\(P(B|\overline{A})\)代表不是肝癌患者的前提下，檢測呈陽性的概率。我們已經知道了是 0.001
即：
將公式(1)(3)代入(2)可得\(P(A|B)=0.284\)，即 一個人在第一次化驗結果呈陽性的前提下，則他患有肝癌的概率是28.4%
分析
其實憑直覺，我們也應該能猜出，這與肝癌的發病率有關，因為在樣本空間（所有人）中，他的發病率只有0.0004。
對此，如果我們把樣本空間換成首次檢驗結果呈陽性的個體，也就是理解成，對首次檢查呈陽性的個體進行復查。再去計算
如果複查結果還是陽性，那麼此時患肝癌的概率的值。
由於首次檢驗結果呈陽性的患者，發病率是 0.284
此時的引數是：
\[\begin{equation} P(A) = 0.284 \\ P(\overline{A})=0.716 \\ P(B|A) = 0.99 \\ P(B|\overline{A}) = 0.001 \end{equation} \]代入(2)，可得P = 0.997，可見若第二次化驗結果還是陽性，此時是肝癌患者的概率變成了99.7%，這也就是現實生活中，要複查的原因了。
作圖
在目前技術水平不變的情況下，化驗結果的概率，我們假設是一個定值。
那麼對於公式
\[P(A|B) ={P(AB)\over P(B)}= {P(A)P(B|A)\over P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) } \tag 2 \]我們畫出求\(P(A|B)\)關於\(P(A)\)的函式，即檢驗結果是陽性的前提下，該患者患肝癌的概率與人群肝癌發病率的關係。
設人群肝癌發病率為x，檢驗結果是陽性的前提下，該患者患肝癌的概率為y。
可得：
\[y = {0.99x \over 0.99x + 0.001(1-x)} \]作圖：
假設當疾病發病率為4%時，若檢測為陽性，則患肝癌的概率是97.63%。
程式碼：
# coding=gbk
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定預設字型
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解決儲存影象是負號'-'顯示為方塊的問題
def morbidity(x):
y = x*0.99 / (x*0.99 + (1-x)*0.001)
return y
if __name__ == '__main__':
x = np.arange(0, 1, 0.01)
y = morbidity(x)
# 開始作圖
fig = plt.figure(figsize=(20, 6)) # 設定畫布大小
plt.grid(linestyle="-.", axis='y', alpha=0.4)
plt.xlabel("人群發病率", fontsize=15)
plt.ylabel("患肝癌概率", fontsize=15)
plt.plot(x, y)
plt.show()
總結
進一步降低錯檢率是提高檢驗精度的關鍵。但在實際中由於技術和操作等種種原因,降低錯檢率是很困難的。仔細分析一下會發現檢驗精度低的主要原因是肝癌發病率很低。所以在實際中,常採用複查的方法來減少錯誤。因為此時被懷疑的物件群體中,肝癌的發病率已大大提高了。
概率有時候與我們的經驗不太一樣，這也是其魅力之一。