2-sat 學習筆記

阿新 • • 發佈：2021-07-21

1.前言：

這個蒟蒻自己都還沒學明白，所以講的不清楚一定要快評論下來，然後這樣蒟蒻思考了給大佬一點啟發。

2.正文：

$2-sat$ 是什麼呢？

其實就是這樣的，$2-sat$ 問題是形如：有 $n$ 個人，每個人可以是男的和女的，要滿足他們之間的一類關係，比如 $i$ 和 $j$ 中一個是男的，一個是女的。或者都是男的，或者都是女的。讓你對他們安排性別滿足條件。

用正式一點的話就是，有 $n$ 個布林變數，每個變數可以為 $0$ 或者 $1$ 。讓你去安排每個變數是 $0$ 還是 $1$ ，去滿足約束條件。

當然有 $2-sat$ 就有 $k-sat$

等，但是目前 $k > 2$ 是多項式時間不可解的問題。

我們談談 $2-sat$ 的問題是怎麼解決的。

這裡我們先引入一道例題

我們發現這道題裡面，是一個很裸的 $2-sat$ ，我們思考每個變數之間的關係。

我們首先發現的是每一個點，只有 $2$ 個變數取值，我們考慮把每個變數 $i$ 拆成兩個點 $i$ 與 $i+n$ 。表示兩個點是 $\text{true}$ 還是 $\text{false}$ 。

然後我們去考慮對於每一條限制怎麼做。

如果有 $a$ & $b=0$。

這個表明了 $a$ 與 $b$ 裡面一定有一個是 $0$

。

那麼我們要在 $a$ 的 $true$ 裡連邊向 $b$ 的 $false$ 。並且將 $b$ 的 $true$ 連向 $a$ 的 $false$ 。

這樣可以保證的是無論這兩個的取值是怎樣，反正最終會有一個走向 $false$ 。所以這個建邊是沒問題的，這裡應該沒問題。

但是，有問題就是我們為什麼不能去，從 $b$ 的 $false$ 連向 $a$ 的 $true$ 。

這麼乍一看也沒什麼問題啊？

但是這樣不行的，因為如果 $b$ 為 $false$ 其實 $a$ 為 $true$ 還是 $false$ 都是沒問題的。而這麼連邊就是不明確的關係，讓人認為，選了$b$

為 $false$ 則 $a$ 就只能為 $true$ 了，所以不行。

那麼建圖是怎樣的呢？大概描述一下流程的話。就是：

$a,b$ 不能同時選，那麼選了 $a$ 就要選 $b+n$ ，選了 $b$ 就要選 $a+n$ 則 $a\rightarrow b+n$ 和 $b \rightarrow a+n$
$a,b$ 必須同時選，那麼選了 $a$ 就要選 $b$ ，選了 $b$ 就要選 $a$ 。則 $a\rightarrow b$ 和 $b \rightarrow a$
$a,b$ 中至少選一個，那麼選了 $a$ 就要選 $b+n$ ，選 $b$ 就要選 $a+n$ ，選了 $a+n$ 就要選 $b$ ，選了 $b+n$ 就要選 $a$ 。則 $a\rightarrow b+n$ 和 $b \rightarrow a+n$ 和 $a+n \rightarrow b$ 和 $b+n \rightarrow a$
$a,b$ 中 $a$ 必須選，那麼讓 $a+n \rightarrow a$

然後就可以了完成建圖過程，但是我們還需要知道是否存在分派方案和怎麼分配。

怎麼去判斷是否有解，在 $\text{hl666}$ 神仙的部落格裡學到了兩種方法。

第一種：$\text{DFS}$

對於每個不確定的變數 $a_i$ ，令其為0，然後沿邊訪問相連的點。
檢查是否會導致任意一個 $b$ 與 $b+n$ 都被選中，如果不會那麼撤銷讓 $a_i=0$
否則讓 $a_i=1$ 重複 $2$ 操作。
繼續考慮不確定的限制

複雜度為 $n^2+nm$ ，可以用 $bitset$ 優化傳遞閉包後進行 $\dfrac{n^3}{w}$ 的預處理做到 $n+m$ 的 DFS 。

這樣做可以保證求解出的答案字典序最小。

第二種：$\text{Tarjan}$

無解的情況其實就是某一變數的 $false$ 走到 $true$ 而從 $true$ 也能走到 $false$ 也就是一個變數的取值在同一強連通分量內就無解。

而且分析一下，你還可以知道，在同一強連通分量內的變數取值相同。

怎麼去求解取值呢？

我們要選的其實就是在圖中被邊指著的變數值，這樣才可以保證不會產生矛盾。

那麼在拓撲序上就是我們要選擇拓撲序上較大的值。

因為在有向圖中拓撲排序後，被指向的點的拓撲序大於指向它的點。

但是其實在求解 $\text{Tarjan}$ 時已經求解除了拓撲序，只不過時反向的，可以思考 $\text{Tarjan} $ 的過程理解。

然後取兩個取值中強連通分量的編號較小的所對應的值就可以了。

時間複雜度為 $n+m$

下面給出例題程式碼的參考實現：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 900
struct ios_in{
 inline char gc(){
  static char buf[MAXN],*l,*r;
  return (l==r)&&(r=(l=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),l==r)?EOF:*l++;
 }
 template <typename _Tp>
 inline ios_in&operator>>(_Tp&x){
  static char ch,sgn;
  for(sgn=0,ch=gc();!isdigit(ch);ch=gc()) {
   if(!~ch) return *this;
   sgn|=ch=='-';
  }
  for(x=0;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
   sgn&&(x=-x);
   return *this;
 }
}Cin;
const int N = 3e6;
int n,m,x[N];
int dfn[N],low[N],cnt,nex[N],first[N],v[N],num;
int ins[N],tp,sc,scc[N],sz[N],s[N];
//scc[i]表示i所在scc的編號
void add(int from,int to){nex[++num]=first[from];first[from]=num;v[num]=to;	}
void tarjan(int u){
 low[u]=dfn[u]=++cnt;s[++tp]=u;ins[u]=1;
 for(int i=first[u];i;i=nex[i]){
  int to=v[i];
  if(!dfn[to]){
   tarjan(to);
   low[u]=min(low[u],low[to]);	
  }
  else if(ins[to]){
   low[u]=min(low[u],dfn[to]);	
  }	
 }
 if(dfn[u]==low[u]){
  ++sc;
  while(s[tp]!=u){
   scc[s[tp]]=sc;
   sz[sc]++;
   ins[s[tp]]=0;
   --tp;	
  }
  scc[s[tp]]=sc;
  sz[sc]++;
  ins[s[tp]]=0;
  --tp;	
 }	
} 
signed main(){
 Cin>>n>>m;
 for(int i=1;i<=m;i++){
  int a,b,c,d;
  Cin>>a>>c>>b>>d;
  if(c&&d){
   add(a,b+n);
   add(b,a+n);	
  }
  if(!c&&!d){
   add(a+n,b);
   add(b+n,a);	
  }
  if(c&&!d){
   add(a,b);
   add(b+n,a+n);	
  }
  if(!c&&d){
   add(a+n,b+n);
   add(b,a);	
  }	
 }
 for(int i=1;i<=2*n;i++)
  if(!dfn[i]) tarjan(i);	
 
 for(int i=1;i<=n;i++)
  if(scc[i]==scc[i+n]){printf("IMPOSSIBLE");return 0;}	
 
 printf("POSSIBLE\n");
 for(int i=1;i<=n;i++){
  if(scc[i]>scc[i+n]){//強連通分量小，拓撲序大，答案優秀 
   printf("1 "); 	
  }
  else printf("0 ");	
 }
 return 0;	
}

下面有思路一樣的雙倍經驗。

不過要注意對字串後面數字的處理要處理完，它不止一位。

到此就介紹完了 $2-sat$ 演算法，下面會更新一下例題輔助理解，期待！