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• 一些 update
• 1. 前言
• 2. 詳解
• 3. 總結

一些 update

update 2021/11/12：修正了文章中的一些語言。

1. 前言

本篇文章將會對 2 - SAT 問題做一個講解。

前置知識：強連通分量/縮點（我的部落格連結/強連通分量 - OI Wiki）。

2. 詳解

首先我們需要知道 2 - SAT 是什麼。

實際上 2 - SAT 是 k - SAT 的一種特殊情況。

k - SAT 問題的一般描述就是有一些物品，每個物品均有 \(k\) 個狀態，給出一些限制條件，諸如 A 為 a 狀態則 B 為 b 狀態之類的，問有無可行解，有時還會讓你求解。

目前 k - SAT 問題（\(k > 2\)

2 - SAT 一般描述如下：

現給出 \(n\) 個布林型別的值，可真可假，有 \(m\) 種限制條件，限制條件是如下 3 種情況之一：

• 若 \(A = p\)，則 \(B = q\)。
• \(A = p\) 與 \(B = q\) 至少有一個成立。
• A 必須為 \(p\)。

剩餘別的所有情況都可以轉化為上述三種情況。

現給出這些限制條件，問你有沒有一組取值，使得這組取值能夠滿足所有限制條件，如果有還需要求出一組可行解。

解決 2 - SAT 問題的方案一般是建圖。

對於每一個變數 \(x\) 我們建兩個點 \(x_0,x_1\)，分別表示變數 \(x\) 取 0 或者取 1。

• 若 \(A = p\)，則 \(B = q\)。

為了方便，只討論若 \(A = 1\)，則 \(B = 1\)，其餘情況可以類推。

考慮連邊 \(A_1 \to B_1,B_0 \to A_0\)，這麼連邊的意義是如果 \(A = 1\)，那麼根據連邊可以推出 \(B = 1\)，如果 \(B = 0\)，那麼根據連邊可以推出 \(A = 0\)。

注意 \(B_0 \to A_0\) 正確性是因為原命題的逆否命題正確。

• \(A = p\)
  與 \(B = q\) 至少有一個成立。

為了方便，只討論 \(A = 1\) 與 \(B = 1\) 至少有一個成立，其餘情況可以類推。

考慮連邊 \(A_0 \to B_1,B_0 \to A_1\)，意義是如果 \(A = 0\) 則 \(B = 1\) 必然成立，同理 \(B = 0\) 則 \(A = 1\) 必然成立。

• A 必須為 \(p\)。

為了方便，只討論 \(A = 1\) 的情況，其餘情況可以類推。

對於這種情況，直接連邊 \(A_0 \to A_1\)，意義是如果 \(A = 0\)，根據連邊可以發現 \(A = 1\)，這意味著 \(A \ne 0\)，只能是 \(A = 1\)，該連邊可以控制 \(A \ne 0\)。

這麼操作之後，我們得到了一張有向圖，其中的有向邊表示推出關係。

那麼接下來如何判斷有無解呢？

採用強連通分量演算法。

假設說某變數 \(x\)，其兩個點 \(x_0,x_1\) 處於同一個強連通分量中，這說明從 \(x = 0\) 出發能夠推出 \(x = 1\)，從 \(x = 1\) 出發能夠推出 \(x = 0\)，因此 \(x \ne 0,x \ne 1\)，這樣就無解了。

那麼如何求出一組可行解呢？

首先對這一張圖縮點，然後我們就得到了一張 DAG。

如果 \(x_0\) 處於強連通分量 \(A\) 中，\(x_1\) 處於強連通分量 \(B\) 中，且 \(A\) 的拓撲序小於 \(B\)，那麼有兩種可能：

• \(x_0,x_1\) 互不干擾。
• \(x_0\) 能夠推出 \(x_1\)。

發現無論哪種情況選擇 \(x_1\) 都是正確的，因此對於變數 \(x\) 而言，\(x_0,x_1\) 哪個拓撲序大選哪個能夠保證選出來的解是正確的。

所以我們需要對建出來的圖縮點，然後跑拓撲排序，求出拓撲序，然後求解……

嗎？

不需要！在求強連通分量的時候我們已經得到拓撲序了。

若採用 Kosaraju 演算法（兩遍 dfs）：

求強連通分量的時候我們會得到一個 Color[] 陣列表示其屬於的強連通分量的編號，而根據 Color[] 陣列可以直接推出兩個強連通分量的拓撲序大小：

• 對於縮點之後的圖上的兩個點 \(i,j\)，如果 \(Color_i < Color_j\)，則 \(i\) 一定能夠走到 \(j\)。換言之，求出這張圖的拓撲序後 \(i\) 在 \(j\) 前面。

上述結論的證明過程我在我的文章圖論專題-學習筆記：強連通分量中證明過，此處不再證明，想了解的讀者可以進入我的文章瞭解。

實質上 Color[] 就是新圖的拓撲序（之一）。

若採用 Tarjan 演算法：

採用 Tarjan 演算法需要注意的一點就是求出的 scc[] 陣列是反過來的，也就是說 scc[] 越大其拓撲序越小，這點跟 Kosaraju 演算法是不一樣的，也比較容易出錯。

證明的話實際上是因為 Tarjan 求強連通分量的時候我們是倒著標記強連通分量的，因此拓撲序最小的強連通分量其標號是最大的。

我更推薦 Kosaraju 演算法~

洛谷模板題：P4782 【模板】2-SAT 問題。

洛谷的模板題只有情況 2。

Code：GitHub CodeBase-of-Plozia P4782 【模板】2-SAT 問題.cpp

3. 總結

2 - SAT 問題的一般解法是根據邏輯關係進行拆點連邊，然後求強連通分量判斷有無解以及求出一組解。