揹包九講
一，01 揹包問題
題解：
二維程式碼：
f [ i ][ j ] 表示只考慮到前 i 個物品，且總體積恰好是 j 的情況下，總價值最大是多少
遞推式：
情況①：不選第 i 個物品，f [ i ][ j ] =f [ i - 1 ][ j ]
情況②：選第 i 個物品，f [ i ][ j ] =f [ i - 1 ][ j - v[i] ] + w[ i ]
f [ i ][ j ] = max(①，②)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1010
int n, m; // 物品數，揹包體積
int f[N][N];
int v[N], w[N]; // 物品體積，物品價值
int max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 預設不選
if (j >= v[i]) // 如果可以選，即揹包體積大於物品體積
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
printf("%d\n", f[n][m]);
system("pause");
return 0;
}解析：
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 預設不選 if (j >= v[i]) // 如果揹包體積大於物品體積 f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
上面這段程式碼就是從第 i-1 個物品的狀態，推導第 i 個物品的狀態的遞推式。相較於上文 “選於不選” 的判斷條件，這裡省略了 “不選“ 的判斷條件，並在可以選擇的時候，比較選與不選各自的價值。也可以理解為：不能選的話，只能不選；可以選的話，就要看選與不選哪個價值大咯。
二維壓縮為一維：01 揹包的空間優化
f [ j ] 表示 如果當前考慮的是 i 個物品，那麼在總體積恰好是 j 的情況下，只考慮到前 i - 1 個物品的總價值最大是多少
遞推式：從第 i-1 個物品的狀態，推匯出第 i 個物品的狀態
情況①：不選第 i 個物品，f [ j ] =f [ j ] ，（注意，雖然這裡等式左右一樣，但意義不一樣，等式左邊代表的是隻考慮到前 i 個物品，而等式右邊代表的是隻考慮到前 i - 1 個物品。下文會將這種從 只考慮到前 i - 1 個物品 到 只考慮到前 i 個物品 的變化叫重新整理。這也是為什麼第二層迴圈要從後往前迴圈的原因）
情況②：選第 i 個物品，f [ j ] =f[ j - v[i] ] + w[ i ]，（注意，f [ j ]代表的是隻考慮到前 i 個物品，f[ j - v[i] ] 代表的是隻考慮到前 i - 1 個物品。下文會將這種從只考慮到前 i - 1 個物品 到只考慮到前 i 個物品 的變化叫重新整理。這也是為什麼第二層迴圈要從後往前迴圈的原因）
f [ i ][ j ] = max(①，②)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 1010
int n, m; // 物品數，揹包體積
int f[N];
int v[N], w[N]; // 物品體積，物品價值
int max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
printf("%d\n", f[m]);
system("pause");
return 0;
}
解析：
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
上面這段程式碼就是從第 i-1 個物品的狀態，推導第 i 個物品的狀態的遞推式。因為不選是 f[ j ] = f[ j ]，沒有變化，所以雖然這裡沒有表示出不選的程式碼，但實際上還是有這個含義的。再來說一下不選，f[ j - v[ i] ] + w[ i ]，問題就出在這個 f[ j - v[ i] ] 身上，因為如果我們 j 是正常的從小到大遞增的話，那麼 f[ j ] 肯定 還沒經過重新整理，但f[ j - v[ i] ] 就一定經過重新整理，所以此時f[ j - v[ i] ] 代表的是 “只考慮到前 i 個物品”，而不是我們需要的 “只考慮到前 i - 1 個物品”。那麼如何在一次 j 迴圈中，保證用到的f[ j - v[ i] ] 都沒有重新整理過呢？只能是從後往前迴圈了。♪（＾∀＾●）
所以，內層迴圈從二維壓縮到一維就是：
for (int j = m; j >= 0; j--)
{
f[j] = f[j]; // 不選
if(j >= v[i]) // 可以選，比較選與不選的價值
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
進一步優化就是：
for (int j = m; j >= v[i]; j--) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
二，完全揹包問題
三，多重揹包問題
四，混合揹包問題
五，二維費用的揹包問題
六，分組揹包問題
七，揹包問題求方案數
八，求揹包問題的方案
九，有依賴的揹包問題
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