莫隊の學習筆記

阿新 • • 發佈：2021-07-22

0x10 莫隊演算法的概念

莫隊演算法是由莫濤提出的演算法。莫隊演算法可以解決一類離線區間詢問問題，適用性極為廣泛。同時將其加以擴充套件，便能輕鬆處理樹上路徑詢問以及支援修改操作。 ——摘自 \(Oi-wiki\)。

0x20 普通莫隊演算法

0x21 形式

給定一個序列 \(Q\) ，我們設 \(n\) 和 \(m\) 同階。對於序列上的查詢問題，給定查詢區間 \([L_i,R_i]\)，我們可以以 \(O(1)\) 的速度擴充套件答案到與查詢區間相鄰的四個區間，即：\([L_{i-1}, R]\)， \([L_{i+1}, R]\) ，\([L_i, R_{i+1}]\) 和 \([L_i,R_{i-1}]\)

。這樣，我們實現的時間複雜度就是 \(O(n×\)塊長\(）\)。而我們通常設的塊長為 \(\sqrt{n}\) ，那麼我們的時間複雜度就是 \(O(n\sqrt{n})\)，這對於我們 \(n\) 達到 \(10^5\) 時，是一個非常快速的做法，且程式碼實現較易。

程式碼模板如下：
```
for (int i = 1; i <= m; i ++) {
	while (r < mt[i].r) add (++ r); 
	while (l > mt[i].l) add (-- l); 
	while (l < mt[i].l) del (l ++);
	while (r > mt[i].r) del (r --);
	ans[mt[i].id] = res;
}
 
```

0x22 實現

對於 \(m\) 個詢問，我們將其先儲存起來，然後再排序，最後離線處理這些資料。

0x23 排序

正常來說，我們的排序方法都是以 \([L_i, R_i]\) 所在的塊的編號為第一關鍵字，以右端點為第二關鍵字從小到大排序。

程式碼實現如下：

inline bool cmp (MOTEAM x, MOTEAM y) {
  if (block[x.l] == block[y.l]) {
      //x和y的左端點都在同一個塊中時，按右端點進行排序。 
      return x.r < y.r;
  }

  if (block[x.l] != block[y.l]) {
      //x和y的左端點不在同一個塊中時，按左端點進行排序。 
      return x.l < y.l;
  }
}

0x24 優化

在很多時候，我們會盲目的將塊長設定為 \(\sqrt{n}\)，所以如果遇到 \(m\) 和 \(\sqrt{n}\) 同階時，而恰好我們將塊長設定為 \(\sqrt{n}\) 時，這樣我們就有可能被構造出的資料卡掉。

那我們應該將塊長設為什麼呢？在隨機資料下，設為 \(\frac{n}{\sqrt{\frac{2}{3} m}}\) 會快一些，大概能優化 \(\frac{1}{10}\) 左右。證明留給讀者自行探索。

我們發現，莫隊演算法實際上看上去僅僅是暴力的優化。但是為什麼使用這種"看似暴力"的做法卻可以通過高難度資料結構題目呢？很顯然，我們的演算法複雜度在離線進行排序的時候被優化了。所以，這一排序節省了我們很多的時間。

於是又有神仙創造出了一種新的排序方法：奇偶性排序。

首先，我們原來的排序方法，雖然讓右端點的大跳動減少了很多。但是，右端點的跳動依舊存在，使我們的時間複雜度大幅度升高。我們能否創造一種方法排序使其更優化呢？

我們在選擇奇數塊時，按照右端點從小到大排序，在偶數塊時從大到小排序，這樣可以減少右端點進行大跳動的次數。

而為什麼這樣排序會快呢？是因為右指標移動到右邊後就不需要跳回左邊了，而跳回左邊後處理下一個塊是要跳動到右邊的。很明顯，這樣就會優化近一半的時間複雜度。

程式碼實現如下：
```
inline bool cmp (MOTEAM x, MOTEAM y) {
    return block[x.l] == block[y.l] ? (block[y.l] & 1) ? x.r < y.r : x.r > y.r : x.l < y.l
}
```

0x25 例題 \(1\)

P1972 [SDOI2009]HH的項鍊

很經典的一道題。這道題求 \([L_i,R_i]\) 區間只出現過一次的數字個數。這樣我們的 \(add\) 和 \(del\) 函式就很好設計。
```
inline void add (int x) {
    cnt[a[x]] ++;
    if (cnt[a[x]] == 1) {
        res ++;
    }
}

inline void del (int x) {
    cnt[a[x]] --;
    if (cnt[a[x]] == 0) {
        res --;
    }
}
```
但是這道題的出題人也許特意卡莫隊做法，正常寫法應該是 \(65pts\) ，會 \(TLE\) \(5\)個點。

所以我們需要大力卡常！我們運用上面的優化技巧，修改塊長，使用奇偶性排序方法，將 \(add\) 和 \(del\) 改成位運算，提前預處理左端點所在塊，吸口氧就可以通過該題了。

AC CODE

0x26 例題 \(2\)

SP3267 DQUERY - D-query

這道題和上道題幾乎相同，我們只需要用正常的莫隊做法就可以通過。

核心程式碼如下：

inline void add(int x, int &res) {
  if (num[a[x]] == 0) {
      //次數未增加前該數次數出現次數為0，就沒有出現過，即不重複。 
      res ++;
  }
  num[a[x]] ++;
}

inline void del(int x, int &res) {
  num[a[x]] --;
  if (num[a[x]] == 0) {
      //次數減少後該數次數出現次數為0，就出現過，個數減少。
      res --;
  }
}

0x27 例題 \(3\)

P2709 小B的詢問

我們看到題目，每個數字貢獻為出現次數的平方，這樣我們的 \(add\) 和 \(del\) 函式就不太好編寫。

這樣我們就需要用到完全平方的小知識解決此題。

即：

\((a+1)^2 = a^2+1+2a\)

於是我們的 \(add\) 函式和 \(del\) 函式有這種寫法：
```
inline void add (int x) {
    ans += cnt[a[x]] * 2 + 1;
    cnt[a[x]] ++;
}

inline void del (int x) {
    ans -= cnt[a[x]] * 2 - 1;
    cnt[a[x]] --;
}
```
但是不要忘記，莫隊是暴力美學，當然我們的 \(add\) 函式和 \(del\) 函式也可以暴力模擬。

核心程式碼如下：
```
inline void add (int x) {
    memo -= cnt[a[x]] * cnt[a[x]];
    cnt[a[x]] ++;
    memo += block[a[x]] * block[a[x]]; 
}

inline void del (int x) {
    memo -= cnt[a[x]] * cnt[a[x]];
    cnt[a[x]] --;
    memo += cnt[a[x]] * cnt[a[x]];
}
```