\(\quad\)在一些問題中，我們只關心一些關鍵點的資訊，同時我們需要維護他們之間的樹形結構，於是可以想到將它們和它們之間的 \(\rm LCA\) 拉出來建一顆樹，這棵樹就被稱作虛樹。

\(\quad\)有一個樸素的想法，就是對它們兩兩求 \(\rm LCA\)，並且對求出的 \(\rm LCA\) 再求 \(\rm LCA\)，中途判重，最後按照祖先關係連邊。

\(\quad\)經過觀察可以發現，我們只需要按照 \(\rm dfs\) 虛從小到大的順序列舉每個點，將相鄰兩點求 \(\rm LCA\) 即可。具體來說，我們可以維護一個棧，這個棧中存的是當前點在虛樹上的所有祖先。設當前棧頂為 \(v\)

• 若 \(\rm LCA(u,v)=v\)，那麼直接將 \(u\) 入棧。
• 若 \(\rm LCA(u,v)\) 是棧中某個不為 \(v\) 的點，則彈棧直到 \(\rm LCA(u,v)\)，每彈一個就向棧中比它深度多 \(1\) 的結點連邊，最後並把 \(u\) 入棧。
• 若 \(\rm LCA(u,v)\) 不在棧中，那麼彈棧直到棧頂的 \(\rm dfs\) 序小於 \(\rm LCA(u,v)\) 的 \(\rm dfs\) 序，每彈一個就向棧中比它深度多 \(1\) 的結點連邊，並把最後一個彈出的結點向 \(\rm LCA(u,v)\)
  連邊，最後把 \(\rm LCA(u,v)\) 和 \(u\) 入棧。

\(\quad\)不難發現這樣一定是對的，並且設關鍵點數量為 \(k\)，則虛樹內點數不超過 \(2k.\)

\(\quad\)在一棵有 \(n\) 個點的樹上建立一顆有 \(k\) 個點的虛樹的時間複雜度為 \(\Theta(k\log n).\)

\(\large \rm [SDOI2011]消耗戰\)

\(\quad\)首先有一個暴力 \(\rm DP\)，設 \(dp_u\) 表示將 \(u\) 的子樹內所有關鍵點與 \(u\) 的聯絡斷開所需要的最小代價。轉移時列舉 \(u\)

• 若 \(v\) 為關鍵點，那麼必須切斷這條邊，有 \(dp_u=dp_u+w_{u,v}\)
• 若 \(v\) 不為關鍵點，那麼可以切斷這條邊也可以從 \(dp_v\) 轉移，故有 \(dp_u=dp_u+min\{dp_v,w_{u,v}\}\)

\(\quad\)最終答案就是 \(dp_1\)，這個暴力的時間複雜度是 \(\Theta(qn).\)

\(\quad\)觀察到 \(\sum k\leqslant 5e5\)，所以考慮對每次詢問建虛樹。

\(\quad\)建虛樹之前需要記 \(M_u\) 表示從 \(1\) 到 \(u\) 的路徑上最短的邊權，因為只需要切掉最短的邊權就可以讓點 \(u\) 與 \(1\) 不連通，而切上面的邊是更優的，所以可以用 \(M_u\) 直接替換轉移方程中的 \(w_{u,v}.\)

\(\quad\)時間複雜度 \(\Theta(\sum k\log n).\)

\(\large \rm [HEOI2014]大工程\)

\(\quad\)首先建虛樹。

• 對於兩兩之間距離之和，可以計算每條邊的貢獻。
• 對於最大\(/\)最小值，可以樹形 \(\rm DP\) 或點分治。

\(\quad\)時間複雜度 \(\Theta(\sum k\log n).\)

\(\large\rm [SDOI2015]尋寶遊戲\)

\(\quad\)我們發現如果將虛樹建出來，那麼答案就是虛樹上所有邊權之和的兩倍。

\(\quad\)於是我們考慮動態維護虛樹的邊權之和。先把所有點的 \(\rm dfs\) 序求出來，然後我們發現邊權之和等於 \(\rm dfs\) 序相鄰兩點的距離之和加上最左邊和最右邊兩點的距離，於是我們可以使用 \(\rm set\) 維護，樹剖求 \(\rm LCA.\)

\(\quad\)時間複雜度 \(\rm \Theta(n\log n).\)