虛樹學習筆記

前置芝士：LCA，Dfs序

參考內容 部落格園“淺談虛樹”， 洛穀日報“淺談虛樹”（實際上是同一篇/lh）

虛樹的定義

對於一棵給定的 \(n\) 個節點的樹 \(T\)，構造新樹 \(T'\) 使其包含指定點集及它們的 LCA， 且節點數最小。這樣的 \(T'\) 被稱為虛樹。

虛樹的應用

虛樹可以解決樹上對於指定點集 \(S\) 的詢問，時間複雜度可以實現 \(\mathrm{O(\left| S\right|log\,n + F(\left|S\right|))}\)，其中 F 為樹上解決該問題所需複雜度， 前者則為建樹複雜度。

虛樹的構造

進行 LCA 與 Dfs 序預處理，對於詢問的點集按照 dfs 序排序

維護一個棧，儲存虛樹中從根到當前節點的路徑。

我們考慮對於某一個將要加入虛樹的新點，設其為 \(u\), 此時棧頂為 \(st_{top}\)，求出它們的 LCA。

因為根據 dfs 序排過序，新點 u 不可能是 LCA， 於是進行分情況討論：

• 1. LCA 即為 \(st_{top}\)，可以直接將 u 壓入棧中。

  2. LCA 是兩點的公共祖先且不為 \(st_{top}\) 或 u，說明這樹長這樣：

  此時我們開始彈出棧中元素並在 \(st_{top}\) 與 \(st_{top-1}\) 之間連邊真正建虛樹，邊權用深度計算一下就好了。

  條件 \(dep_{st[top - 1]} > dep_{LCA}\)

  時不斷執行， 最後棧頂與 LCA 連邊，彈出棧頂，壓入 u。

執行到最後將棧中點全部彈出並連邊，完成虛樹構建。

建樹程式碼 \(\mathbf{Code:}\)

inline void Inc(int x, int y) { 
    int wei = abs(dep[x] - dep[y]); 
    return e[x].push_back(mp(y, wei)), e[y].push_back(mp(x, wei)); 
}
inline void Tend(int u) { 
    if (tp == 0) return fr.push_back(st[++tp] = u); // 棧中冇點，直接壓入
    int LCA = Lca(st[tp], u); 
    while (tp > 1 && dep[st[tp - 1]] > dep[LCA]) Inc(st[tp], st[tp - 1]), --tp; // 舊子樹構建
   	if (dep[LCA] < dep[st[tp]]) Inc(LCA, st[tp--]);
    if (!tp || st[tp] != LCA) fr.push_back(st[++tp] = LCA);	// LCA 特殊處理
    return fr.push_back(st[++tp] = u); // 壓入當前點 u
}
inline void Build(vector<int> S) {
    dep[root = 0] = 1e9, sort(S.begin(), S.end(), cmp_dfn);	// 點集按照字典序排序
    Rep(i, 0, S.size() - 1) Tend(S[i]);	//按照 DFS 序逐個壓入點
    Rep(i, 0, fr.size() - 1) if (dep[fr[i]] < dep[root]) root = fr[i];	// 定根
    while (--tp > 0) Inc(st[tp], st[tp + 1]);	// 拿出最後剩下的一條鏈並連邊
}
 

構造複雜度

瓶頸在於點集排序和樹上 LCA ，加上了個棧，每個元素進棧一次出棧一次，具體為\(\mathrm{O(\sum (|S|\ log\,|S|) + \sum(|S|\ log\,n)+ |S|)}\)，常數不計。

瓶頸複雜度 \(\mathrm{O((\sum|S|)\ log\,n)}\)。

注意每次回答完詢問後的清空虛樹操作一定要注意時間複雜度，memset 大多致死。

當然也要注意空間複雜度，如果開了靜態陣列，就要算算是否會爆空間，當然 vector 是一個好選擇。雖說很多虛樹的題空間都會給夠。

建議例題

入門例題首選 CF613D Kingdom and its Cities.

再有 [SDOI2011]消耗戰