CSMO 2021 遊記
其實不是嚴格意義上的“遊記”，畢竟受到疫情的影響，\(\text{FJ}\) 的數競生只能留在本地考試
\(\Huge\mathcal{Day}\ 1\)
教練說 \(7:30\) 要入考場，可是懶惰的我 \(7:10\) 才起床，最後 \(7:40\) 睡眼朦朧地爬進了考場。我隨便坐了個後排的位子，結果好像說後排是高二組的，不管了。
\(7: 57\) 拿到試卷，好傢伙，居然有亂碼！不過一會兒又發了一分，這回正常了。
\(T1\) 是數列，肯定先弄他。
觀察到遞推式關於 \(a_n\) 是個二次函式，把它拆成
\[a_n^2(a_{n-1} + 1 - 2a_{n-1}^2-2a_{n-1}) + a_n(a_{n-1} ^ 2 - 2a_{n-1}) + a_{n-1}^2=0 \]直接計算 \(\Delta\)
推出來 \(a_n = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-1} + 1}\), 算幾項試試？
\[a_1 = \dfrac12, a_2 = \dfrac13, a_3 = \dfrac14 \]肉眼觀察得 \(a_n = \dfrac1{n + 1}\)， 用數學歸納法證明即可（其實不用也行）。第一問就做完了，時間過去了 \(30 \min.\)
看第二問，要證：
\[\ln(\dfrac n2+1)<S_n<\ln(n+1) \]即：
\[\ln(\dfrac n2+1)<\sum\limits^n_{i=1}\dfrac1{i+1}<\ln(n+1) \]數歸去證，最後可化簡到 \(e^x \ge x+1\)
怎麼感覺這個 \(T1\) 是來殺時間的
看 \(T2\)， 一眼看出 \(A,G,O,H\) 即 \(A\) 到 \(BC\) 的垂足（記為 \(K\)）五點共線，原因顯然。
\(OE\ //\ BC?\) 轉化為 \(OE \perp AH\)，那麼有 \(\dfrac{AE}{AO} = \dfrac{AC}{AK}\). 注意到這些邊用三角函式很好表示，直接三角開掄， 最後 \(\cos A\) 被求出來了。
結論等價於 \(\angle GBK=\angle A\), 去算 \(\tan \angle GBK\) 即可，這樣完美的利用上了 \(G\)
時間又過去了 \(1h...\) 又是個殺時間的題
\(T3\) 手玩了下發現不可做， 開 \(T4\).
woc, 題面這麼長！！！
看懂了題面， 發現也是個不可做題，看來前兩題殺時間殺的有理由 直接回 \(T3\).
咦？好像跟 \(19\) 年的 \(D1T3\) 差不（hen）多？用 \(19\) 年的 \(D1T3\) 的方法，考慮所有 \(v_n ≠ 0\) 的 \(n\) 的最小值.....
\(15 \min later...\)
好吧，不行
立即轉同餘， 先 \(\bmod p\)， 發現 \(u_0 \equiv 0 \pmod p\). 好東西
考慮歸納證明命題， 能否通過 \(p^m | u_0\) 得出 \(p^{m+1} | u_0\) 呢？
\(15 \min later...\)
不行。。。
能否通過 \(p^m | u_0, p^{m-1} | u_1, \cdots, p | u_m\) 得出 \(p^{m+1} | u_0, p^m | u_1, \cdots, p | u_{m+1}\) 呢？
\(25 \min later...\)
好吧還是不行
崩潰 ing...
過了一會，考試結束，感覺我後面 \(90 \min\) 啥事沒幹
出了考場，問了下身邊人的估分：
- \(\mathbf{L} \color{red}{\mathbf{YM}}：15+15+0+6=36\)
- \(\mathbf{P} \color{red}{\mathbf{JZ}}：9+15+0+6=30\)
- \(\mathbf{C} \color{red}{\mathbf{XL}}：15+0+0+6=21\)
- \(\mathbf{W} \color{red}{\mathbf{EO}}：15+15+0+6=36\)
- \(\mathbf{S} \color{red}{\mathbf{SY}}：15+0+0+6=21\)
woc 為啥他們都做出來 \(T4\) 的第一問啊？！這好嗎？這不好！感覺人已經暴斃了
\(Day\ 1\) 我的估分： \(15+15+0+0=30\). 看來需要調整一下心態了...