前言：

在一些N限制為30,40這種搜尋題中，直接暴力搜尋直接T飛，這時候就需要一些優化，折半搜尋就是優化的一種，先搜尋前半部分，再搜尋後半部分，最後合併答案即可，這個演算法難點就是合併答案。時間複雜度在N大了的時候（函式成指數增長），複雜度就會降下去，再加上合併答案所需的時間，大多數情況下比直接暴力要更快（多了？）。

比如，在每一層搜尋時，假如都有兩種選擇，那麼其時間複雜度為。當較大時，往往會導致超時。此時，如果使用折半搜尋，其時間複雜度將縮小為。（引用知乎朝夕的筆記）

例題.

一.luogu4799

今年的世界冰球錦標賽在捷克舉行。Bobek 已經抵達布拉格，他不是任何團隊的粉絲，也沒有時間觀念。他只是單純的想去看幾場比賽。如果他有足夠的錢，他會去看所有的比賽。不幸的是，他的財產十分有限，他決定把所有財產都用來買門票。

給出 Bobek 的預算和每場比賽的票價，試求：如果總票價不超過預算，他有多少種觀賽方案。如果存在以其中一種方案觀看某場比賽而另一種方案不觀看，則認為這兩種方案不同。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=55;
ll n,m,w[maxn],suma[1<<21],sumb[1<<21],cnta,cntb,ans;
void dfs(int l,int r,ll sum,ll a[],ll &cnt)
{
    
 
if(sum>m) return ;
    if(l>r)
    {
        a[++cnt]=sum;
        return ;
    }
    dfs(l+1,r,sum+w[l],a,cnt);
    dfs(l+1,r,sum,a,cnt);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    ll mid=n>>1;
    dfs(1,mid,0,suma,cnta);
    dfs(mid+1,n,0,sumb,cntb);
    sort(suma
 
+1,suma+1+cnta);
    for(int i=1;i<=cntb;i++)
    ans+=upper_bound(suma+1,suma+1+cnta,m-sumb[i])-suma-1;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

簡要思路：先看到比賽場次N<=40，考慮搜尋，再想到折半搜尋，求出前半、後部分的所有可能取法（中間有剪枝），再將suma陣列排序，sumb中每一個元素在suma中用upper_bound（二分）找出對應可能的答案個數，最後輸出答案總和，這是道較簡單的折半搜尋。

二.

給n個數，從中任意選出一些數，使這些數能分成和相等的兩組。

求有多少種選數的方案。

簡要思路：首先每個數都有三種情況，不取，取放在左集合，取放在右集合（左集合和右集合的數加起來就是一種選數方案（不知道合不合理））。考慮一個集合（選數方案）被分成左集合和右集合，如果左集合的數全部取反，那麼易知這個集合合法當且僅當這個集合所有的數加起來之和為0，這時我們考慮折半深搜，搜完後，兩個部分先排序再利用雙指標合併答案，具體細節在程式碼裡面能體現，是一道折半搜尋的好題，在思維上有所要求。

注：1.最後答案要減1（什麼都不取）

2.要判重（左集合為正、負，右集合為負，正，這事實上是一種取法，這裡利用狀壓和|運算達到判重，但事實上還可以用stl（本蒟蒻不會啊））

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=21;

int vis[1<<maxn];
struct node
{
    int val,cur;
}suma[1<<maxn],sumb[1<<maxn];
int comp1(const node &a,const node &b){return a.val<b.val;}
int w[maxn],cnta,cntb;
int n;
void dfs(int st,int end,int sum,int state)
{
    if(st>end)
    {
        if(end==n/2) suma[++cnta].val=sum,suma[cnta].cur=state;
        else sumb[++cntb].val=sum,sumb[cntb].cur=state;
        return ;
    }
    dfs(st+1,end,sum,state);
    dfs(st+1,end,sum-w[st],state+(1<<(st-1)));
    dfs(st+1,end,sum+w[st],state+(1<<(st-1)));
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    dfs(1,n/2,0,0);
    dfs(n/2+1,n,0,0);
    sort(suma+1,suma+1+cnta,comp1);
    sort(sumb+1,sumb+1+cntb,comp1);
    int l=1,r=cntb,ans=0;
    while(l<=cnta && r>=1)
    {
        while(suma[l].val+sumb[r].val>0 && r>=1) r--;
        int pre=r;
        while(suma[l].val+sumb[r].val==0 && r>=1)
        {
            if(vis[suma[l].cur|sumb[r].cur]==0) vis[suma[l].cur|sumb[r].cur]=1,ans++;
            r--;
        }
        if(suma[l].val==suma[l+1].val) r=pre;
        l++;
    }
    cout<<ans-1;
    return 0;
}

總結：

折半搜尋真有趣，想到搜尋就想想能不能折半搜尋（這個總結還不如不說）。