起因，這兩天多校概率題挺多的，又不太會做。

剛好學長髮了一些概率問題知識就有這個就去了解了一下

有一個很反直覺的問題，叫作百囚徒挑戰。

很多時候，我們都會靠直覺去評價一件事情，但很多時候，我們的直覺是錯的，哪怕感覺有多麼準確，而最著名的反直覺問題，就是百囚徒挑戰。

前三點看起來並不難，但第四條直接將難度直線升級。從直覺來看，每個囚徒完成挑戰的概率就是1/2，而且每個囚徒的挑戰都是獨立事件，所以100個囚徒同時成功的概率就是（1/2）的100次方，這個數，幾乎接近於零！

那麼為什麼說這個問題是反直覺的？

實際上，這個題目並不是單純的概率題。比如考慮最簡單的情況，囚徒只有兩人，那麼他們每人只能從兩個抽屜裡選擇一個抽屜開啟，這時他們被釋放的概率是1/4嗎？不是。如果兩個囚徒開啟不同的抽屜，那麼他們被釋放的概率是 1/2，反之如果兩個囚徒開啟同一個抽屜，那麼他們被釋放的概率是0.

因此，只要囚徒採取了正確的策略，那他們獲勝的概率很大，在人數為100人時，仍舊有 \(30\%\)

下面開始解釋為什麼概率是趨近於 \(1 - ln\ 2\)

解答的細節來自知乎的大佬 Yuz.Scarlet

不妨假設抽屜裡的號碼牌是隨機放置的（否則，囚徒可以自己在腦內打亂所有抽屜的位置以達到同樣的效果※），之後囚徒首先為抽屜編號，例如從左上到右下依次編號。而每個囚徒的策略，就是首先開啟與自己編號相同的抽屜，從中取出號碼牌，並開啟號碼牌所對應的抽屜。之後，重複此過程，直到找到自己的號碼牌，或者50個抽屜的機會用完。

例如，29號囚徒首先打開了29號抽屜，裡面放著51號的號碼牌，於是他開啟51號抽屜，裡面放著18號的號碼牌，於是他開啟18號的抽屜，裡面放著29號的號碼牌，他完成了任務。（只是隨便舉例）（※※）

為了計算成功概率，首先對這個遊戲進行化簡。將抽屜與號碼牌的對應關係視為一個對映，例如 \(f(29) = 18,f(51) = 18\) ，那麼從任意一個數出發，不停地迭代計算，最終總能回到這個數。通過這種方法，\(1\) ~ \(100\) 的數字被分割為了一些“圓環”，而每個圓環的長度不一，比如 \(3 \to 3\) 的長度就是1，意味著3號抽屜裡裝著3號號碼牌， \(29 \to 51 \to 18\to 29\) 的長度是3；這時，我們發現，所有囚徒能夠通過挑戰，當且僅當所有圓環的長度不超過50，此時顯然每個囚徒都能在50次以內找到自己的號碼牌，反之如果有一個圓環長度超過50，那麼這個圓環上的所有人都會失敗。

接下來就是計算了。比起計算“所有圓環的長度不超過50”的概率，“有一個圓環長度超過50”的概率更容易計算。因為“有一個圓環的長度是51”和“有一個圓環的長度是52”之類的事件是彼此互斥的（圓環的長度總和是100），所以總概率就是它們的和。而對於 \(m \ge 51\) ，只需先選出 \(m\) 個元素，將它們構成一個環，之後再將剩下的元素隨機打亂即可唯一地得到一種分佈。

具體地說，所有形成長度為 \(m\) 環的對映種類為 \(C_{100}^m * (m-1)!*(100 - m)! = 100!/m\) ，全排列個數為 \(100!\) ，因此這個概率等於 \(P(m) = 1 / m\)

綜上，所有圓環長度不超過50的概率等於 \(P = 1 - \sum\limits_{m = 51}^{100}\frac 1m ≈ 0.312\) ，這個概率就是囚徒被釋放的概率。當囚徒人數趨於無窮大時，概率趨向於 $ P = 1 - \sum\limits_{m = N + 1}^{2N}\frac 1m ≈ 1-ln\ 2$

不那麼嚴密地說，這個策略的關鍵點在於讓所有囚徒儘可能地一起成功或者一起失敗，因此所有玩家的任務不再是獨立的，一旦有一個人成功，他所翻出的號碼牌對應的人也一定會成功，同時只要有一半的人成功，剩下的人都一定成功。

通過計算可得，在之前所有人都成功的條件下，下一個人成功的概率依次為

這個策略被證明最優。

※否則，囚徒可以自己在腦內打亂所有抽屜的位置以達到同樣的效果
因為在挑戰開始之前有一個月時間商討對策，所以囚徒可以在這段時間內約定好隨機打亂抽屜的方式。另外，如果擔心囚徒的策略被獄警知曉，也可以考慮迪菲赫爾曼金鑰交換（前提是P≠NP），這是一種大聲說悄悄話的方法，具體做法是利用非對稱演算法，使得兩個沒有任何共同知識的人知曉一個共同的關鍵詞，並且任何竊聽者無法通過兩人的對話推理出這個關鍵詞，之後這個關鍵詞可以作為加密的祕鑰使用。

※※另外直觀地解釋一下這個策略的含義，這裡以10個人的情況舉兩個例子。

假如說10個抽屜與號碼牌的對應關係如下：
1號抽屜→5號牌
2號抽屜→7號牌
3號抽屜→3號牌
4號抽屜→2號牌
5號抽屜→9號牌
6號抽屜→10號牌
7號抽屜→4號牌
8號抽屜→8號牌
9號抽屜→1號牌
10號抽屜→6號牌

1號囚徒首先開啟自己的編號對應的抽屜即1號抽屜，取出5號號碼牌，接著開啟5號抽屜，取出9號號碼牌，接著開啟9號抽屜，取出1號號碼牌，完成任務；
2號囚徒首先開啟自己的編號對應的抽屜即2號抽屜，取出7號號碼牌，接著開啟7號抽屜，取出4號號碼牌，接著開啟4號抽屜，取出2號號碼牌，完成任務；
……
10號囚徒首先開啟自己的編號對應的抽屜即10號抽屜，取出6號號碼牌，接著開啟6號抽屜，取出10號號碼牌，完成任務；

就這樣，在這種對應關係下，所有囚徒都完成了任務；

假如說10個抽屜與號碼牌的對應關係如下：
1號抽屜→2號牌
2號抽屜→8號牌
3號抽屜→5號牌
4號抽屜→6號牌
5號抽屜→1號牌
6號抽屜→4號牌
7號抽屜→10號牌
8號抽屜→9號牌
9號抽屜→3號牌
10號抽屜→7號牌

1號囚徒開啟1號抽屜，取出2號號碼牌；開啟2號抽屜，取出8號號碼牌；開啟8號抽屜，取出9號號碼牌；開啟9號抽屜，取出3號號碼牌；開啟3號抽屜，取出5號號碼牌；任務失敗
4號囚徒開啟4號抽屜，取出6號號碼牌；開啟6號抽屜，取出4號號碼牌；任務成功

The desire of his soul is the prophecy of his fate
你靈魂的慾望，是你命運的先知。