點分樹 | 震波

\(\text{Solution:}\)

是點分樹的模板，這裡講一講點分樹。

本質就是把點分治的每一層分治重心給記錄下來了，自然就形成了一棵樹，並且樹高是 \(O(\log n)\) 的。這很顯然。

那麼，考慮點分治的過程，實際上就是從點分樹從根往下計算答案的過程了。

如果我們要計算點 \(x\) 的答案，對應地，應該是從根分治到點 \(x,\) 逆過來，就是從 \(x\) 跳到點分樹的根。

所以，我們對答案維護只需要從這個點往上跳就好了。

那麼我們考慮這個過程中哪些點對答案有貢獻：

顯然是跳到的點子樹內距離根為 \(y-dis(x,now)\) 的點。因它們可以拼成一條長 \(y\)

所以我們只需要對每個子樹維護這個東西即可。一個是維護自己子樹內部對它自己的貢獻，另一個需要維護自己子樹內單點對其父親的貢獻。

於是，應用容斥原理，計算其父親子樹內除 \(x\) 子樹外其他點對它的貢獻就是用總貢獻減去 \(x\) 子樹內對其父親貢獻為 \(y-dis\) 的部分。

而我們每次詢問的是一個字首和，所以可以樹狀陣列維護。

由於點分樹結構優秀，所以暴力跳的複雜度就是對的了。

同時，注意到點分樹上的結構和原樹的還是差別很大，所以我們需要在原樹上面獲得兩點距離一類資訊，而計算距離需要找 \(LCA,\) 利用尤拉序 \(st\) 表的科技就可以做到 \(O(n\log n)\)

總之，點分樹有以下特點：

• 對應每個節點是點分治的分治重心

• 樹的結構非常均勻，樹高是 \(O(\log n)\)

• 樹的結構與原樹關係很小，很多資訊需要在原樹裡面獲得

• 需要注意原樹和點分樹的差異，從而思考清楚兩部分的資訊處理

• 然後考慮答案所求在點分樹上如何統計，從而確定如何統計資訊，需要維護哪些資訊

• 進而思考如何維護資訊

大概就是這樣的流程。至於修改操作：之所以建立點分樹就是因為修改使得每次需要重複找重心進行計算，但這些修改對樹結構沒有影響，所以這些操作完全是不必要的，所以在點分樹上修改就可以做到一個 \(\log n\) 複雜度

所以這些維護資訊的資料結構往往還需要支援修改

如這題，就可以用樹狀陣列來維護修改維護字首和了。

至此，點分樹介紹以及本題題解完全結束。

程式碼中附註釋。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=(1<<30);
const int N=2e5+10;
int n,m,tot,ans,rt,sum,minn,cnt,head[N];
inline int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int val[N],siz[N],dep[N],pa[N],pos[N],lg[N],st[N][21];
bool vis[N];
vector<int>C[2][N];
struct E{int nxt,to;}e[N<<1];
inline void add(int x,int y){e[++tot]=(E){head[x],y};head[x]=tot;}
void dfs1(int x,int fa){
	st[++cnt][0]=x;pos[x]=cnt;dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(j==fa)continue;
		dfs1(j,x);st[++cnt][0]=x;//原樹的尤拉序 
	}
} 
inline int getmin(int x,int y){return dep[x]<dep[y]?x:y;}
void GetEuler(){
	for(int i=1;i<=cnt;++i)lg[i]=31-__builtin_clz(i);
	for(int t=1;(1<<t)<=cnt;++t){
		for(int i=1;i+(1<<t)<=cnt;++i){
			st[i][t]=getmin(st[i][t-1],st[i+(1<<(t-1))][t-1]);//維護關於尤拉序的st表 
		}
	}
}
inline int getdis(int u,int v){
	if(pos[u]>pos[v])swap(u,v);
	int pu=pos[u],pv=pos[v],len=pos[v]-pos[u]+1;
	//求兩點第一次出現尤拉序中深度最小的節點 
	int L=getmin(st[pu][lg[len]],st[pv-(1<<lg[len])+1][lg[len]]);
	return dep[u]+dep[v]-(dep[L]<<1);//獲得原樹中兩點距離 
}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void change(int u,int opt,int x,int v){
	x++;//注意樹狀陣列下標不能是0 
	for(int i=x;i<=siz[u];i+=lowbit(i))C[opt][u][i]+=v;
}
int query(int u,int opt,int x){
	x++;
	int res=0;
	x=Min(x,siz[u]);
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=C[opt][u][i];
	return res;
}
void Gr(int x,int fa){
	siz[x]=1;
	int res=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(j==fa||vis[j])continue;//避免走父親以及之前的重心 
		Gr(j,x);siz[x]+=siz[j];res=Max(res,siz[j]);
	}
	res=Max(res,sum-siz[x]);
	if(res<minn)minn=res,rt=x;//從子樹裡面找重心 
}
void dfs(int u){
	vis[u]=1;siz[u]=sum+1;//vis表示是不是已經在點分樹中 
	C[0][u].resize(siz[u]+1);
	C[1][u].resize(siz[u]+1); //提前定好其大小，最長就是鏈 
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int j=e[i].to;
		if(vis[j])continue;
		sum=siz[j];rt=0;minn=inf;
		Gr(j,0);pa[rt]=u;dfs(rt);//找j的重心並與當前點分樹點連邊 
	}
}
void modify(int u,int w){
	for(int i=u;i;i=pa[i])change(i,0,getdis(u,i),w);//把子樹內對x的貢獻算上 
	for(int i=u;pa[i];i=pa[i])change(i,1,getdis(u,pa[i]),w);//計運算元樹內點對fa的貢獻 
}
int opt;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]);
	for(int i=1;i<n;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	dfs1(1,0);GetEuler();sum=n;minn=inf;
	Gr(1,0);dfs(rt);//找到 1 的重心，然後建立點分樹 
	for(int i=1;i<=n;++i)modify(i,val[i]);//初始化，dis啥的在modify裡 
	for(;m;m--){
		int x,y;
		scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
		x^=ans;y^=ans;
		if(!opt){
			ans=query(x,0,y);//x子樹內的 
			for(int i=x;pa[i];i=pa[i]){
				int dis=getdis(x,pa[i]);
				if(y>=dis)ans+=query(pa[i],0,y-dis)-query(i,1,y-dis);//父節點子樹中x子樹外的 
			}
			printf("%d\n",ans);
		}
		else modify(x,y-val[x]),val[x]=y;//單點修改 
	}//點分樹的結構與原樹的結構關係不大 所以距離什麼的要放到第一次dfs裡面處理出來 
	return 0;
}