< 資料結構 > 樹狀陣列：

概述

樹狀陣列（Binary Indexed Tree,BIT,也稱二叉索引樹）是一個支援元素增加操作與計算區間和操作的較快速的資料結構。

其主要運用了lowbit的思想，構造出瞭如圖的索引樹

lowbit

在如圖的樹中，每一層都代表著第n個元素最低位的1的對應值，

例如6的二進位制110對應的最低位的1對應值是10，即是十進位制下的4，

所以

觀察得

這是因為計算機中負數表示為按位取反後加1的，注："&"表示按位與，都為1即為一。

拓展到所有正整數上，可以得到

解釋

給出A 陣列， 為元素的序列

我們可以發現，如圖中的樹，如果他是右兒子，那麼它的父親就是，如果他是左兒子就是

先引入C 陣列，其中

可以看出，這代表的是圖中一個橫條(即第i個元素所在橫條包括其下面)的元素和，

(1)我們要求的是區間和，所以就可以用字首和的方法求，不難發現，節點13的字首和(在後面用Si表示字首和)在圖上就是這樣的

即為圖中灰色部分的長條之和，即為

程式碼如下

int ask(int i)
{
    int ans = 0;
    while (i > 0){
        ans += Ci[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ans;
}

當然，這是求字首和的的程式碼，要求區間(l,r)的和，就用即可

(2)

這裡也以11為例，修改元素11的值，那麼就得修改如圖

標灰橫條的值，都加上11結點的增量，程式碼如下

void add(int i,int b){
    while (i <= n){
        Ci[i]+=b;
        i += lowbit(i);
    }
}

That's the END