n元函式極值點的充要條件
阿新 • • 發佈：2021-08-02
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其他內容是我自己寫的， \(n\) 元情形參考了文章： https://zhuanlan.zhihu.com/p/265398780
一元可導函式極值的充要條件
簡單來說， \(1\) 元函式 \(f\left(x\right)\) 在 \(x=x_0\) 點處的極值點的（偽）充要條件比較好找，只需要考慮函式 \(f\left(x\right)\) 在 \(x=x_0\) 點處第一個不為零的導數即可。
例如，若 \(f\left(x\right)\) 前 \(n-1\) 階導都為 \(0\) ，即 \(f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)=0, k=1,2,\cdots ,n-1\)
- 如果 \(n\) 為奇數，那麼 \(x=x_0\) 處一定不是極值點。
- 如果 \(n\) 為偶數，那麼——
- 若 \(f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)>0\) ，則 \(x=x_0\) 處一定是極小點。
- 若 \(f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)<0\) ，則 \(x=x_0\) 處一定是極大點。
但為什麼說是（偽）充要條件呢？因為還有一種可能，就是函式在這一點所有階導數都為 \(0\) ，即 \(f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)=0, \forall k\in\mathbb{N}^+\)
此時 \(f^{\left(k\right)}\left(0\right)=0, \forall k\in\mathbb{N}^+\) ，但 \(0\) 的確是一個極小值點。
當然，如果函式不可導，那又是另一個話題了。
多元函式極值的充要條件
這部分內容參考的文章 https://zhuanlan.zhihu.com/p/265398780
我們考慮函式的 Hessian 矩陣
\[H\left( f \right) =\left( \begin{matrix} \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_1 \right) ^2}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_2 \right) ^2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_n \right) ^2}\\ \end{matrix} \right) \]- 如果 Hessian 矩陣正定，那麼多元函式取得極小值
- 如果 Hessian 矩陣負定，那麼多元函式取得極大值
- 如果 Hessian 矩陣慣性系數有正有負，那麼多元函式不取得極大值
- 如果 Hessian 矩陣慣性系數半正定或半負定，那麼無法判斷，需要更高階的資訊
特別地，對於 \(n=2\) 的二維情形，只需考慮行列式
\[\left| \begin{matrix} \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_1 \right) ^2}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_2 \right) ^2}\\ \end{matrix} \right| \]- 行列式為正，則多元函式取得極值
- 行列式為負，則多元函式不取得極值
- 行列式為 \(0\) ，那麼無法判斷
當然，這類比到 \(1\) 維情形，相當於在 \(n=2\) 處截斷。但多元函式考慮高維的話也不現實，畢竟高階偏導交叉項太多了。按照我的猜想的話， \(n\) 次導數相當於 \(n\) 維張量了。不過我也沒有查閱相關文獻進行考證，就這樣吧。