【學習筆記】樹狀陣列

阿新 • • 發佈：2021-08-02

原理

原理最近暫時沒有時間寫。等我後面來補

引例1 給定一個長度為n序列a，有m次操作，操作分為兩種，一是給出一個區間，求區間之和，二是給一個數加上一個值。

如果我們直接在陣列a上做這個問題，區間和累加最多是O（n），而單點修改則是O（1）；

如果我們考慮字首和優化，那麼區間和是O（1）的，而單點修改最壞則是O（n）；

總的複雜度最壞都是O （mn），如果n和m都是10的5次方級別顯然會超時

是否存在更優秀的解法呢？

有！！！樹狀陣列可以做到mlogn！！

假設 N = 2 ^ ik + 2 ^ ik - 1 + …… + 2 ^ i1;

其中 ik > ik - 1 > ik - 2 > ……> i1;

我們考慮把（0，N】這個區間拆分成以下的區間

（x - 2 ^ i1，x];
(x - 2 ^ i2 - 2 ^ i1, x - 2^i1]
一直到最後一個區間
（0，x - 2 ^ i1 - 2 ^ i2 - 2 ^ i3 - …… - 2 ^ ik - 1]

注意以上區間均為左開右閉

以上區間的長度恰好為log（x），即x的二進位制串長度

並且我們發現對於每個區間（l ，r】來說，區間的長度恰好為r的二進位制數的最後一位1所對應的次冪

我們繼續思考如果我們要求一個區間【1，n】的總和，可不可以把這個大區間拆分成log（n）個小區間，先求出小區間之和，再累加到我們的大區間。

那麼如何知道大區間所需要的小區間有哪些，又如何求小區間之和呢

首先我們已經知道了每個以r為右端點的區間長度，所以我們不需要知道左端點（因為我們可以自己求出來）

那麼我不妨就以右端點為下標來表示區間

我們記 c[ r ] = [ r - lowbit（r）+ 1，r ];

lowbit是取一個二進位制數的最小的一，也就是r所對應2進位制數最後的一位1，不懂的可以藍書從基礎部分看起。可以O（1）求出

下面這張圖以【1，8】這個區間為例；（摘自OI wiki）

我們發現c【1】區間長度為1

c[ 2 ] 長度為2

c【3】長度為 1

c[4] 長度為4

不難發現所有奇數為右端點的區間長度均為1（原因是奇數的最後一位1恰好就是十進位制下的1）

假設我們要求1 ~ 6的區間和

我們首先加上c【6】，然後我們發現還得加上c【4】

那c6和c4有什麼關係呢？注意 6 - lowbit（6）= 4，這真是太妙了！

所以我們只需要讓一個區間右端點x 不斷減去自身的lowbit 直到它等於 0為止即可算出 1 ~x的區間和

既然1 ~ x的和算出來了，我們思考之前字首和的思想

任意一個區間l ~ r也可以被算出來

而每次計算一個區間最多隻要累加 log（n）次太妙了！

我們再來看單點加，

顯然只有包含當前節點的父節點的值會受到影響

而我們發現每個內部節點c【x】的父節點就是c【x + lowbit（x）】，不斷做運算直到x > n即可。

單點修改（加）（log n）

void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

區間求和（log n）

LL sum(int x)
{
LL res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
return res;
}

引例2 把第一個問題的兩種操作改成給一個區間加上一個給定的值，或是查詢任意一個數的值

原先的問題是單點加和區間求和

而現在問題變成了區間加和單點查詢

其實很容易想到差分，單點查詢我們對差分陣列求和一遍就可以了（logn），而區間加也只需要給兩個點加上值即可（logn）

code：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int tr[N];

int a[N];
int n,m;

typedef long long LL;
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}


void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

LL sum(int x)
{
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) add(i,a[i] - a[i - 1]);
    while(m --)
    {
        string op;
        cin >> op;
        if(op == "C")
        {
            int l,r,d;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
            add(l,d);
            add(r + 1,-d);
        }
        else 
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",sum(x));
        }
    }
}

引例3 在前面兩個問題的資料範圍內，能否同時做到區間求和和區間加呢

1.對於區間加來說，我們同樣用到差分。

2.考慮區間和能否用到差分呢？我們會發現a1 + a2 + a3 + …… + ax

其實等於 b1 + b1 + b2 + b1 + b2 + b3 + ……+ bx；（可以在紙上畫出來）

我們不妨把它補成一個長為x + 1，寬為x的矩陣，其中每行均代表 b1 + b2 + b3 + …… + bx

此時我們發現答案等於（x + 1）Σ（i從 1 到 n）bi 減去 Σ（i從1到 n）（bi * i）;

由此我們只需要開兩個陣列，分別維護字首和即可。

程式碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;


const int N = 100010;
typedef long long LL;

LL tr1[N];
LL tr2[N];
int a[N];
int n,m;


int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(LL tr[],int x,LL c)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

LL sum(LL tr[],int x)
{
    LL res = 0;
    for(int i = x;i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}


LL prefix_sum(int x)
{
    return (x + 1) * sum(tr1,x) - sum(tr2,x); 
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int b = a[i] - a[i - 1];
        add(tr1,i,b);
        add(tr2,i,1LL * b * i);
    }
    while(m --)
    {
        string op;
        int l,r,d;
        cin >> op;
        if(op == "C")
        {
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
            add(tr1,l,d);
            add(tr1,r + 1,-d);
            add(tr2,l,d * l);
            add(tr2,r + 1,-d * (r + 1));
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%lld\n",prefix_sum(r) - prefix_sum(l - 1));
        }
    }
    return 0;
}