第二章 初出茅廬——初級篇

從第二章開始內容就多了起來，由於以後可能會有很多東西想寫，所以儘可能壓縮篇幅，這本書還是以每一章總結一篇文章，瀑布流可以讓內容更加內聚，不會太過分散；而且這本書是每個章節對應一個練習題集，整體來看題目數量是比較少的，所以一章一篇總結是合適的

最基礎的“窮竭收縮”

搜尋這裡大概脈絡是：

1. 介紹了遞迴函式：自己呼叫自己
2. 通過斐波那契數列問題，引出記憶化搜尋儲存重複運算的結果的思想
3. 通過“部分和問題”和“園子積水問題”(本質是圖搜尋)，說明DFS
4. 通過“迷宮最短路徑”問題，說明BFS
5. 介紹了C++中求 \(n!\) 的函式next_permutation，介紹了剪枝的思想

下面對其中一部分有趣的地方做一些說明

遞迴函式和斐波那契數列

斐波那契數裡的定義如下：
\(\begin{cases} a_0 = 0 \\ a_1 = 1 \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \end{cases}\)

所以使用遞迴可以很方便的求解\(a_n\)：

int fib(int n) {
	if(n <= 1) return n;
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

但是展開以後可以發現fib這個函式呼叫次數是指數級的，拿fib(10)來說，fib(10) = fib(9) + fib(8)，fib(9) = fib(8) + fib(7)，也就是計算(或者說呼叫)一遍fib(10)需要計算兩遍fib(8)；而計算一個fib(8)則需要計算兩遍fib(6)；對於奇數情況我們從fib(9)展開，可以得到同樣的結果

即：計算一個fib(n)需要計算2遍fib(n-2)，展開以後會發現，計算一個fib(n)需要計算\(2^k\)遍fib(n-2*k)，因此演算法是指數級的

深度優先搜尋

最開始學深搜的時候，是大學做了八皇后那道題目，對於第一次接觸遞迴的同學來說dfs還是比較難理解的，需要在腦海中不停反覆模擬搜尋過程，習慣了以後才能應用自如

具體到這本書中的內容，深搜涉及到兩個典型應用：

1. 列舉：對應的問題是“部分和問題”，n個數字中，能否選取若干數使其和為k，其中n <= 20
   考慮每個數加或不加，列舉所有的方案，對每個方案計算和是否等於k即可。方案總數有\(2^n\)個，每個方案對應dfs最終的一個搜尋節點，因此時間複雜度也是\(O(2^n)\)

   
   這裡可以擴充套件一下，如果n <= 40，原本的做法會超時，這時候可以使用“中途相遇法(meet-in-the-middle)”來解：將前n/2個數和後n/2個數分為兩波，各自列舉方案，並將各自方案的sum儲存在陣列中，對其中一個數組a排序，遍歷其中一個數組b，並且用二分在排好序的陣列a中查詢k-sum。這樣的複雜度為：\(O(2^{n/2}log2^{n/2})\)，“列舉+排序”和“列舉+查詢”均為這個複雜度
   另外還有一種做法，就是將a和b陣列均排序，從小到達列舉a陣列，對當前的\(a_i\)，從大到小列舉b陣列中的\(b_j\)，保持\(a_i + b_j >= k\)，可以發現下標i單調遞增，下標j單調遞減，整個過程的複雜度是\(O(n)\)的(儘管“列舉+排序”的複雜度仍是\(O(2^{n/2}log2^{n/2})\))，理論依據是，兩個數的和(基本)不變，一個數增加，另一個數要減小，這種方法叫做“尺取法”，也叫做“two pointers”

2. 搜圖：對應“園子積水”問題，更普遍的叫法是“連通塊”問題，給出一個M*N的矩陣，其中'W'代表水，'.'代表陸地，每個單元和周圍8個相鄰單元連通(也有些題目規定4個共邊單元)，問矩陣中一共有多少個連通塊
   書中的做法是使用dfs以某個'W'單元為入口進行搜尋，進入該單元后，會將該單元設定成'.'，這樣後面的單元就不會重複訪問這個單元了，隨後向周圍8個方向搜尋，由於'W'越來越少，最終一定會結束。每次這樣的搜尋過程都伴隨著一個連通塊的消失，因此搜尋次數就是連通塊數
   之前學過的搜圖過程，都是打vis標記來“判重”，而這次直接把到達的單元“刪掉了”，看似合理且符合直覺，但是不禁要問一聲：WHY？如何證明這樣的過程是對的呢？(下面的證明過程比較毒瘤，“算感”強的意識流選手可以直接跳過)
   當思考打vis標記來判重的過程時，彷彿也碰到了同樣的問題，所以我們需要證明：dfs可以到達連通塊中的每個元素，儘管它看上去顯然成立，是屬於數學中“這也要證？！！”的型別
   這裡的矩陣實際上屬於圖(ghaph)的範疇，一個'W'單元就是一個節點，'W'和周圍8個相鄰的'W'之間存在無向邊，所以一個連通塊對應一個無向連通圖
   那麼dfs可以到達無向連通圖中的每個點嗎？考慮dfs進入一個node的過程：1). 先打vis標記； 2). 對周圍能到達且沒打vis標記的節點進行dfs；
   所以是否存在一個無向圖，經過dfs後，其中某些節點沒有到達？顯然，不可能所有節點都沒有到達，因為我們從某個入口進去了；因為圖是連通的，所以我們一定能找到一個沒有到達的節點v與某個到達過的節點u相連，在節點u退棧之前，根據上述dfs的搜尋步驟，一定會進入節點v
   對於“刪點”的做法也有同樣的證明方法，因此一個連通塊不可能存在沒被刪掉的點

這塊的證明看似又繞又沒有必要，但是很好的回答了一個“這也能證？！！”的問題。

寬度優先搜尋

寬搜比深搜更加直觀，列舉了一個“迷宮最短路徑”問題；從“源點S”到“終點G”，一層一層的將新的節點加入到佇列中去，這個過程就像一顆石頭砸到平靜的水面上
寬搜和深搜如果需要保證複雜度為\(O(n)\)就必須保證每個點只“訪問”一次，對寬搜而言，“訪問”對應著從佇列中取出來的那部分操作
跟深搜一樣，寬搜我們要選一個入口，這個點進入佇列後要標記它，防止對它重複訪問，“入隊時標記”的原因是，有可能同一層次的多個節點會到達下個層次的同一個節點
“所有第k層的點能一步到達的未被訪問的節點為第k+1層的節點”，這樣一層一層的擴充套件順序總能保證到每個點的距離最短，就像高低不同的臺階

一切其他需要注意的地方

1. 有些特殊狀態的列舉有其專門的方法：例如\(n!\)可以使用next_permutation列舉、二進位制在\(O(3^n)\)列舉集合子集、據說位運算還能列舉\(C_n^k\)
2. 書中只是介紹了剪枝，是說需要經過n步的決策生成方案，決策到第k步時發現剩下的n-k步無論作出什麼決策方案都是非法的，那就可以不繼續向下了；對應到“狀態搜尋樹”中就是剪掉了一個子樹。需要注意的是，按照什麼策略去剪枝，是可以很靈活很深入的內容，劉汝佳的書裡提到的一些UVa題目中很考研剪枝的策略選取，只是不確定這類題目如今是否流行
3. 需要計算某些狀態的最小解的時候，經常將狀態初始化為INF，而在dp的刷表法中，經常會遇到d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + x)這樣的寫法，如果INF取得太大，可能會溢位導致WA，所以INF如何取到既大於所有合法解，又不會在運算中導致溢位，也需要探索(可能沒有最好的辦法，只能引入標記或者-1特判解決)
4. 怎麼將遞迴寫成迴圈形式，也是一個沒有掌握的專題

(這部分內容才是2.1而已，持續更新中，如果將來有人問我為什麼你寫的比書本上的內容還多，回答是我解釋了作者沒有解釋的，並且擴充了作者沒有提到的)