Problem

題目描述

給定兩個整數 \(n,m\) 問有多少三元組 \((x,y,z)\) 滿足：

• \(0\le x,y,z\le n\)
• \(x+y+z=m\)

輸入格式

一行給出兩個整數 \(n,m\) 。

輸出格式

一個整數，代表答案。

Example&Prompt

輸入輸出樣例

樣例\(1\)：
輸入：$2\ 2\ \ \ $ 輸出：\(6\)
樣例\(2\)：
輸入：$3\ 15\ $ 輸出：\(1\)

資料範圍

對於\(20\%\)的資料，滿足\(1\le n\le 100\)。
對於\(50\%\)的資料，滿足\(1\le n\le 10^4\)。
對於\(100\%\)的資料，滿足\(1\le n\le 10^7,0\le m\le3n\)

Solution1（20pts）

暴力列舉\(x,y,z\)，再判斷合不合法，時間複雜度為\(O(n^3)\)。

Solution2（50pts）

暴力列舉\(x,y\)，根據條件\(2\)算出\(z\)，再判斷合不合法，時間複雜度為\(O(n^2)\)。

Solution3（100pts）

暴力列舉\(x\)，再求出\(y,z\)的所有可能性。

那如何求\(y,z\)的所有可能性呢？不妨先令\(k=m-x\)，因為條件\(1\)，所以當\(k< 0\)時沒有合法的解，只要討論\(k\ge 0\)的情況。

首先先看一種簡單的情況：\(n\ge k\)

根據條件\(2\)，我們有\(y+z=k\)

因此，我們就是要求兩個自然數之和為\(k\)的數量，這個很明顯是\(k+1\)種，舉個例子：

其實也就是\(k=i+(k-i)(0\le i\le k)\)，共\(k+1\)種可能。

然後再看\(n<k\)的情況，我們依舊有\(y+z=k\)，但此時可能有不合法結果，甚至沒有合法結果。

我們先設\(y=n\)，此時\(z=k-n=m-2n\)為最小值，如果\(z>n\)，那麼代表沒有合法結果，因為最小的可能也不符合要求，也就沒有符合要求的結果了。

然後考慮有不合法結果也有合法結果，根據上面的例子\(4\)

很明顯，從\(k=i+(k-i)(0\le i\le k)\)可以看出\(i>n\)不符合情況的數量是\(k-n\)，\(k-i\)不符合情況的數量也是\(k-n\)（正好與\(i\)不符合情況相反）。

總情況仍是\(k+1\)，因此，這時候符合情況的數量就是\(k+1-(k-n)* 2=2n-k+1\)。

我們把所有情況加起來就是答案了，時間複雜度為\(O(n)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int k=m-i,j=0;
        if(k>=0)
        {
            if(k>n)
            {
                if(k-n>n)
                j=0;
                else
                j=2*n-k+1;
            }
            else
            j=k+1;
        }
        ans+=j;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}