前言

$manacher$演算法，這個被$OIer$戲稱為馬拉車的演算法，作為字串入門演算法，非常值得$OIer$學習，並且學會其核心思想--不斷利用之前以求的值來更新之後待求的值。掌握好它，我們就可以開啟$OI$字串演算法的大門。

一、manacher演算法的目的（解決神馬問題）

$manacher$演算法是用於求最長迴文子串長度的演算法。

什麼迴文串？顧名思義，迴文串就是一個字串順序讀和倒序讀都一樣。

舉個栗子：$aba$ $aaaaaa$ $IOI$

二、manacher演算法的基本思路

首先，我們來看到問題：給定一個字串，求其最長迴文子串長度。

$1$.我們來看一看最暴力的解法：列舉所有子串，再分別判斷該串是否是迴文串。時間複雜度$O(n^3)$。暴力不愧是暴力，這時間複雜度直接上天

$2$.既然暴力不行，那我們稍微優化一下。我們可以列舉每一個點作為對稱點（就是該回文子串的對稱中心），再暴力掃描求出最長迴文子串長度。時間複雜度$O(n^2)$。

$3$.改進後還是有點慢，我們可不可以再快一點？這是，我們今天的主角--manacher演算法就閃亮登場了。

我們可以沿著$2$的思路，列舉對稱點，並令$p[i]$為該對稱點所能延伸的最長迴文半徑（從對稱點到該回文子串的左端點或右端點（包含端點和對稱點））。

這時，我們遇到了第一個問題--如果是偶迴文串，那我們該怎麼辦？

我們可以在所有字元之間插入一個無關字元,讓偶串變成奇串。

舉個栗子：aba->@#a#b#a#!  (前後兩個端點插入不同符號防越界)
		  abba->@#a#b#b#a#! 
            
這樣，我們就可以愉快的列舉對稱點了。  
 

之後，我們可以得到一個顯然才怪的結論--迴文串長度==$p[i]-1$。

為了防止我們看的雲裡霧裡，還是補充一個解釋比較好：

以abba為例，處理後變成@#a#b#b#a#! 那麼最中間的#號的$p[i]$值為$5$，$5-1=4$，從數值上看，它們是相等的。

那有沒有什麼證明呢？當然要有，不然怎麼用這個演算法。

新串相當於在原串的基礎上$\times 2+1$，我們取它的迴文半徑就可以抵消掉$\times 2$的效果，再$-1$就可以得到真正的迴文串長度。

說了這麼多，提升效率的呢？

我們定義$mx$表示當前找到的最長迴文子串的最右端點的下標，$id$表示$mx$的對稱中心。用$i$表示當前要匹配的節點。

1.當$i<mx$時

利用迴文串的性質，我們可以得到$i$關於$id$對稱的點$j=(id<<1)-i$。

（1）當$p[j]<j$到$id$左端點的距離，如下圖

顯然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$不可以再向兩邊擴充套件。

（2）當$p[j]==j$到$id$左端點的距離，如下圖

顯然，$p[i]=p[j]$，且$p[i]$可以再向兩邊擴充套件。

（3）當$p[j]>j$到$id$左端點的距離，如下圖

此時$p[i]=mx-i$，且$p[i]$不可以再向兩邊擴充套件。

因為如果可以擴充套件，則$cd$，又因為$ab$且$bc$，所以$ad$，那麼$mx$就可以再拓展一位，產生矛盾，捨去。

2.當$i>mx$時

直接$p[i]=1$，之後再判斷是否可以拓展。（因為之前推出的$p[i]$值無法更新當前要求的值）

好了，直接上核心程式碼

	for(R int i=1;i<len;++i) {//len是新陣列長度
		if(i<mx) p[i]=min(p[(id<<1)-i],mx-i);//同1
		else p[i]=1;//同2
		while(str[i+p[i]]==str[i-p[i]]) ++p[i];//判斷是否可以再向兩邊拓展
		if(p[i]+i>mx) {mx=i+p[i];id=i;}//更新
		ans=max(ans,p[i]-1);//更新答案
	}

參考資料：

Chrety大佬的blog

老規矩，練手題

1.板子(題解)(我的程式碼)

2.求前$k$長的所有迴文子串長度的乘積(題解)(我的程式碼)

3.最長雙迴文串(題解)(我的程式碼)