快來看，大資料兩地三中心的容災也可以如此省心！
阿新 • • 發佈：2021-08-06
題源：
題意：
\(n\) 點環，每個點可以寫 \(1 \ldots n\) 中的一個數，問有多少旋轉後本質不同的染色方案。
\(\rm Analysis:\)
\(\operatorname{burnside}\) 引理，仍然是考慮每個置換操作的等價類個數，發現對於一個往後 \(k\) 的置換，一共會構成 \(\gcd(n, k)\) 個環，環內部是同色，所以所求就是：
\[\begin{aligned} \sum _ {i = 1} ^ n n ^ {(n, i)} &= \sum _ {d \mid n} n ^ d \sum _ {i = 1} ^ n [(i, n) = d] \\ &= \sum _ {d \mid n} n ^ d \sum _ {i = 1} ^ {\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} [(i, \frac{n}{d}) = 1] \\ &= \sum _ {d \mid n} n ^ d \varphi(\frac{n}{d}) \end{aligned} \]列舉約數即可，暴力按照定義求 \(phi\)
一定要記得 polya 定理最後要取平均值！
\(\rm Code:\)
我不想就這樣淪陷，迷失在黑夜，我將燃燒這生命，就算再壯烈。using i64 = long long; const int md = 1e9 + 7; signed main() { std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(nullptr); int T; std::cin >> T; while (T--) { int n; std::cin >> n; i64 res = 0; for (int i = 1; i * i <= n; ++i) { if (n % i == 0) { res = (res + pwer(n, i) * phi(n / i) % md) % md; if (i * i != n) res = (res + pwer(n, n / i) * phi(i) % md) % md; } } std::cout << res * pwer(n, md - 2) % md << '\n'; } }