I-Increasing Subsequence 期望DP+逆元
阿新 • • 發佈：2021-08-06
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題意
給定一個長度為\(n\)，元素為\(1,2,\dots,n\)的某種序列，\(Alice\)與\(Bob\)輪流取數，要求每次取的數都要大於先前兩個人曾選過的數，並且當前選擇的數要在前一位玩家選擇位置的右邊，當前可以選擇的數都將會等概率被選擇，求出能夠進行遊戲輪次的期望值。
思路
由於存在兩個人選擇，因此我們可以使用二維陣列來分別表示兩個人選擇的位置，有兩個人，所以可以用兩個二維陣列來分別表示是誰在做選擇，當然也可以增加一維來表示。於是我們想到可以使用動態規劃的方式來計算期望值。
暴力計算\(O(N^3)\)
假設我們分別使用\(g[i][j],f[i][j]\)
參考程式碼
點此展開
//Author:Daneii //O(n^3)演算法，必定超時 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define in(x) scanf("%d",&x) #define lin(x) scanf("%lld",&x) #define din(x) scanf("%lf",&x) typedef long long ll; typedef long double ld; typedef pair<int,int> PII; const int N=5010; const int mod=998244353; int n; ll a[N]; ll f[N][N],g[N][N]; ll inv[N]; //O(N)時間內預處理出1...n中每個數的逆元 void inv_init() { inv[0]=inv[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; } int main() { #ifdef LOCAL freopen("D:/VSCodeField/C_Practice/.input/a.in", "r", stdin); #endif in(n); inv_init(); for(int i=1;i<=n;i++) lin(a[i]); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=n;j++) { if(i==j) continue; if(j==0) g[i][0]=inv[n]; //列舉k //首先是現在是第一個人來選 int cnt=0;//統計個數 for(int k=j+1;k<=n;k++) { if(a[k]>a[i]&&a[k]>a[j])//滿足每次選擇的數都比先前的要大 cnt++; } //第一個人選擇後轉移到第二個人 for(int k=j+1;k<=n;k++) { if(a[k]>a[i]&&a[k]>a[j]) { f[i][k]=(f[i][k]+inv[cnt]*g[i][j])%mod; } } //第二個人選 cnt=0; for(int k=i+1;k<=n;k++) { if(a[k]>a[j]&&a[k]>a[i]) { cnt++; } } for(int k=i+1;k<=n;k++) { if(a[k]>a[j]&&a[k]>a[i]) { g[k][j]=(g[k][j]+inv[cnt]*f[i][j])%mod; } } } } ll ans=0; //將所有情況累加起來就是結果 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) if(i==j) continue; else ans=((ans+f[i][j])%mod+g[i][j])%mod; printf("%lld\n",ans); return 0; }
優化計算\(O(N^2)\)
在暴力演算法中，我們發現每次都需要計算比當前選擇數大的數的個數，也就是\(k\)的個數，由於每次都需要遍歷一遍陣列，增加了一維迴圈。我們考慮是否能夠將這一維優化掉。由於\(k\)的個數，只與當前的數有關係，因此我們可以預處理一下\(k\)與每個數的大小關係，從而對於個數查詢實現\(O(1)\)的查詢。
我們會發現，由於\(k\)必須要大於\(i\)或者\(j\)，相當於每次都是看右邊的陣列，因此我們可以修改陣列的定義，讓\(f[i][j]\)為\(Alice\)上一輪選擇了\(i\),\(Bob\)上一輪選擇了\(j\)，那麼\(i\)與\(j\)位置上元素的大小關係就可以反應是誰在選擇，而\(k\)
現在考慮狀態轉移，如果當前是\(a[i]>a[j]\)，說明當前\(Bob\)選，因此狀態轉移就是\(f[i][j]=1+\sum_{k>j,a[k]>a[i]}f[i][k]\)，如果是\(a[i]<a[j]\)，說明當前是\(Alice\)選，狀態轉移為\(f[i][j]=1+\sum_{k>i,a[k]>a[j]}f[k][j]\).
參考程式碼
點此展開
//Author:Daneii
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in(x) scanf("%d",&x)
#define lin(x) scanf("%lld",&x)
#define din(x) scanf("%lf",&x)
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=5010;
const int mod=998244353;
int n;
ll p[N];
ll cnt[N];//用於統計比p[i]大的對應cnt[j]的個數
ll sum[N];//用於計算字首和
ll inv[N];//預處理逆元
ll f[N][N];//狀態定義：Alice上輪選擇了i，Bob上輪選擇了j
//因此狀態轉移要注意p[i]與p[j]之間的大小關係
void inv_init()
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("D:/VSCodeField/C_Practice/.input/a.in", "r", stdin);
#endif
in(n);
inv_init();
for(int i=1;i<=n;i++) lin(p[i]);
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ll bcnt=0,pre=0;
for(int j=n;j>=0;j--)//j等於0即無法進行
{
if(i==j) continue;//不存在這樣的局面
if(p[i]>p[j])
{
//說明目前狀態時從Alice選
f[i][j]=((pre*inv[bcnt])%mod+1)%mod;
sum[j]=(sum[j]+f[i][j])%mod;//統計此時比j大的字首和
cnt[j]++;//記錄下比j大的個數
}
else
{ //此時是Bob選
f[i][j]=(sum[j]*inv[cnt[j]]%mod+1)%mod;
pre=(pre+f[i][j])%mod;
bcnt++;
}
}
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+f[i][0])%mod;
printf("%lld",ans*inv[n]%mod);
return 0;
}