技術標籤：動態規劃（DP）數學

1677 treecnt

給定一棵n個節點的樹，從1到n標號。選擇k個點，你需要選擇一些邊使得這k個點通過選擇的邊聯通，目標是使得選擇的邊數最少。
現需要計算對於所有選擇k個點的情況最小選擇邊數的總和為多少。

樣例解釋：

一共有三種可能:(下列配圖藍色點表示選擇的點，紅色邊表示最優方案中的邊)
選擇點{1,2}:至少要選擇第一條邊使得1和2聯通。

選擇點{1,3}:至少要選擇第二條邊使得1和3聯通。

選擇點{2,3}:兩條邊都要選擇才能使2和3聯通。

輸入

第一行兩個數n，k(1<=k<=n<=100000)
接下來n-1行，每行兩個數x,y描述一條邊(1<=x,y<=n)

輸出

一個數，答案對1,000,000,007取模。

輸入樣例1

3 2
1 2
1 3

輸出樣例1

4

輸入樣例2

10 4
4 7
7 10
10 2
2 8
8 3
3 9
9 1
1 5
5 6

輸出樣例2

1386

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;
struct node {
    int v, next;
} tree[maxn * 2];
int dp[maxn];
int vis[maxn];
int
 
 head[maxn * 2];
ll n, k, num, answer = 0;
// cbk[i]為C n k
ll cbk[maxn];

ll QuickPow(ll x, ll N) {
    ll res = x;
    ll ans = 1;
    while (N) {
        if (N & 1) {
            ans = ans * res % mod;
        }
        res = res * res % mod;
        N = N >> 1;
    }
    return ans;
}

// 1/a
 

ll getInv(ll a) {
    return QuickPow(a, mod - 2);
}

void add(int x, int y) {
    tree[num].v = y;
    tree[num].next = head[x];
    head[x] = num++;
}

void dfs(int u) {
    vis[u] = 1;
    dp[u] = 1;
    for (int i = head[u]; i != -1; i = tree[i].next) {
        int v = tree[i].v;
        if (!vis[v]) {
            dfs(v);
            dp[u] += dp[v];
        }
    }
    // 要選k個點，這條邊連線的兩個連通塊大小為x，y的話，貢獻為C(n,k)-C(x,k)-C(y,k)
    answer = (answer + cbk[n] - cbk[dp[u]] - cbk[n - dp[u]] + 2 * mod) % mod;
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    memset(head, -1, sizeof(head));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    cbk[k] = 1;
    for (int i = k + 1; i <= n; i++) {
        cbk[i] = ((cbk[i - 1] * i) % mod * getInv(i - k)) % mod;
    }
    dfs(1);
    cout << answer << endl;
    return 0;
}