暴力列舉+exCRT 合併

洛谷題面傳送門

發篇正常點的題解。

首先對於這樣的題暴力列舉肯定是不行的，因為最小時間顯然可能達到 \((nm)^5\approx 10^{17}\)，就算資料很難卡到這個上界，構造出一些使你暴力超時的資料還是很容易的，因此考慮一些不基於暴力列舉的做法。不難發現，對於每個細菌而言，如果它的位置及方向已經確定了，那麼它下一步所在的位置及面對的方向也已經確定了，也就是說，如果我們對於每個細菌，把位置及方向看作一個三元組 \((x,y,d)\)，並且在一步可達的三元組之間連有向邊，那麼可以得到 \(k\) 個基環內向森林。而由於得到的圖是基環內向森林，對於一個點，從它出發可以到達的點應是一個 \(\rho\)

形。而對於陷阱格 \((x,y)\)，到達陷阱格即意味著在建好的圖上到達 \((x,y,0),(x,y,1),(x,y,2),(x,y,3)\) 中的一個點，因此題目可以轉化為：

• 求最小的時間 \(t\)，滿足對於全部全部 \(k\) 個基環內向森林的起點，走 \(t\) 步後到達的點都是 \((x,y,0),(x,y,1),(x,y,2),(x,y,3)\) 中的一個

由於此題 \(k\) 很小，因此我們考慮暴力 \(4^k\) 列舉每個細菌的終點 \((x,y,d_i)\)，那麼問題可進一步轉化為，最少需要多少時間 \(t\)，滿足每個細菌走 \(t\) 步後到達的點都恰好是 \((x,y,d_i)\)

。我們對於每個細菌 \(i\)，預處理出以下四個量：

• \(mn_i\)：從該細菌起點對應的三元組開始，最少走多少步可以走到環上
• \(len_i\)：從該細菌起點對應的三元組開始，能夠走到的 \(\rho\) 字形的環長
• \(typ_{i,d}\)：對於終點 \((x,y,d)\)，它在不在該細菌對應的起點能夠走到的 \(\rho\) 字形的環上
• \(tim_{i,d}\)：對於終點 \((x,y,d)\)，最少需要多少時間才能從細菌 \(i\) 起點對應的三元組走到 \((x,y,d)\)

那麼顯然如果存在一個 \((x,y,d_i)\) 無法從 \(i\) 的起點到達那麼就不存在這樣的 \(i\)

，否則繼續分類討論：如果存在一個 \((x,y,d_i)\) 不在細菌 \(i\) 的起點對應的環上，那麼顯然時間必須為 \(tim_{i,d_i}\)，因為錯過這個點就無法再回來了，我們只需檢驗從所有細菌的起點開始走 \(T=tim_{i,d_i}\) 步是否能夠到達對應的終點即可，如果都能那麼就用 \(T\) 更新答案，否則不做處理。具體檢驗方法就是如果 \(typ_{i,d_i}=1\)，那麼必須有 \(T\ge mn_i\) 且 \(T\equiv tim_{i,d_i}\pmod{len_i}\)，否則必須有 \(tim_{i,d_i}=T\)，存在 \(typ_{i,d_i}=0\) 的情況都判完了，剩餘的就是 \(typ_{i,d_i}\) 都為 \(1\) 的情況了。對於每個細菌 \(i\)，顯然它在 \(T\) 時刻到達 \((x,y,d_i)\) 的充要條件是 \(T\ge mn_i\) 且 \(T\equiv tim_{i,d_i}\pmod{len_i}\)。我們如果只考慮後一個條件，那顯然就是一個解同餘方程組的問題，exCRT 合併即可，加了第一個條件，由於方程組的通解可以寫成 \(T=T_0+kT'\) 的形式，因此我們對於每個細菌求出 \(k\) 最少需要是多少才能滿足第一個限制，然後取個 \(\max\) 即可。

複雜度大概是 \(4^kk\log T+nmk\)，跑得飛快，最慢的一個點只用了 6ms

const int MAXN=50;
const int dx[]={-1,0,1,0};
const int dy[]={0,1,0,-1};
int n,m,k,X,Y,id[1<<7];
int getid(int x,int y,int d){return d*n*m+(x-1)*m+y;}
pair<pii,int> getcor(int x){return mp(mp((x-1)%(n*m)/m+1,(x-1)%m+1),(x-1)/n/m);}
int a[7][MAXN+5][MAXN+5],st[7];
int getnxt(int t,int x,int y,int d){
	d=(d+a[t][x][y])&3;
	if(x+dx[d]<1||x+dx[d]>n||y+dy[d]<1||y+dy[d]>m)
		d^=2;
	return getid(x+dx[d],y+dy[d],d);
}
vector<int> rch[7];
int stk[MAXN*MAXN*4+5],tp=0,len[7];
bool vis[MAXN*MAXN*4+5];
void dfs(int t,int x){
	if(vis[x]){
		for(int i=1;i<=tp;i++) rch[t].pb(stk[i]);
		for(int i=1;i<=tp;i++) if(stk[i]==x) len[t]=tp-i+1;
		return;
	} vis[x]=1;pair<pii,int> p=getcor(x);stk[++tp]=x;
	dfs(t,getnxt(t,p.fi.fi,p.fi.se,p.se));
}
int need[7][5],typ[7][5];
ll gcd(ll x,ll y){return (!y)?x:gcd(y,x%y);}
void exgcd(ll x,ll y,ll &a,ll &b){
	if(!y) return a=1,b=0,void();exgcd(y,x%y,a,b);
	ll tmp=a;a=b;b=tmp-(x/y)*b;
}
ll smul(ll x,ll y,ll mod){
	x=(x%mod+mod)%mod;y=(y%mod+mod)%mod;ll res=0;
	for(;y;y>>=1,x=(x+x)%mod) if(y&1) res=(res+x)%mod;
	return res;
}
pair<ll,ll> combine(ll a1,ll b1,ll a2,ll b2){
	if(!~a1||!~a2) return mp(-1,-1);
	ll d=gcd(a1,a2);if((b2-b1)%d) return mp(-1,-1);
	ll t=(b2-b1)/d;ll k1,k2;exgcd(a1,a2,k1,k2);
	k1=smul(k1,t,a2/d);ll A=a1/d*a2;
	return mp(A,(smul(a1,k1,A)+b1)%A);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&X,&Y);
	id['U']=0;id['R']=1;id['D']=2;id['L']=3;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int x,y;char c;cin>>x>>y>>c;
		st[i]=getid(x,y,id[c]);
		for(int j=1;j<=n;j++) for(int l=1;l<=m;l++)
			scanf("%1d",&a[i][j][l]);
	}
	for(int i=1;i<=k;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));tp=0;
		dfs(i,st[i]);
//		for(int x:rch[i]) printf("%d\n",x);
		for(int d=0;d<4;d++){
			int x=getid(X,Y,d),ps=-1;
			for(int j=0;j<rch[i].size();j++) if(rch[i][j]==x) ps=j;
			need[i][d]=ps;typ[i][d]=(ps>=rch[i].size()-len[i]); 
//			printf("%d %d %d %d %d\n",i,d,x,need[i][d],typ[i][d]);
		}
	} ll res=9e18;
	for(int i=0;i<(1<<(k<<1));i++){
		bool flg=1;
		for(int j=1;j<=k;j++){
			int x=i>>((j-1)<<1)&3;
			if(!~need[j][x]) flg=0;
		} if(!flg) continue;
		int tim=-1;
		for(int j=1;j<=k;j++){
			int x=i>>((j-1)<<1)&3;
			if(!typ[j][x]) tim=need[j][x];
		}
		if(~tim){
			for(int j=1;j<=k;j++){
				int x=i>>((j-1)<<1)&3;
				if(!typ[j][x]&&need[j][x]!=tim) flg=0;
				if(typ[j][x]&&(tim<rch[j].size()-len[j]||tim%len[j]!=need[j][x]%len[j]))
					flg=0;
			} if(flg) chkmin(res,tim);
			continue;
		}
		pair<ll,ll> A=mp(1,0);
		for(int j=1;j<=k;j++){
			int x=i>>((j-1)<<1)&3;
			A=combine(A.fi,A.se,len[j],need[j][x]%len[j]);
		} if(!~A.fi) continue;ll tt=A.se;
		for(int j=1;j<=k;j++){
			int x=i>>((j-1)<<1)&3;
			if(A.se<need[j][x]) chkmax(tt,A.se+(need[j][x]-A.se+A.fi-1)/A.fi*A.fi);
		} chkmin(res,tt);
	} printf("%lld\n",(res==9e18)?-1:(res+1));
	return 0;
}