前言：

我們知道高次方程有兩種，在這一章我們來討論這一種

但我們只討論a=2的特殊情況。

因為作者本身水平很弱，在此並不過多的說一些很學術的詞語或證明，有的甚至不會給出證明，如有需要請自行度娘。

在本章的篇幅會大量傾斜於how，而不是why。如果你只想明白該怎麼解，那麼您可以繼續讀下去。

在此預設大家都知道（https://kewth.github.io/2019/10/21/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%89%A9%E4%BD%99/）這個網址上的東西。

有一個演算法可以來解決這類問題，Cipolla演算法。但是有個限制就是p為奇素數。

這個演算法大概是什麼步驟呢？

首先我們要判斷n是否有解。

定義關於n和p的一種符號勒讓德記號

當（n）=1時，n一定有解。

當 (n) =-1時，n一定無解。

判斷完n是否有解，我們可以知道，n的解應該有兩個，且互相為modp意義下的相反數。

下面推出一個重要定理

a怎麼求呢？我們知道二次剩餘的數量為(p-1)/2,所以非二次剩餘為(p-1)/2，所以我們可以選隨機數。五五開的概率，2,3次估計就出來了。

求出了一個a，就求出了w，就求出了一個x。但w可能是個虛數，x可能是個虛數。根據拉格朗日定理，這裡的x的虛部係數為0,所以x不為虛數。但我們仍需要在w的運算中使用複數運算。

類似的，給出複數運算的程式碼：

num mul(num a,num b,ll p)
{
    num ans
 
={0,0};
    ans.x=(((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p))%p+p)%p;
    ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p+p)%p;
    return ans;
}

可以對著看一下。

複數的表示：

struct num
{
    ll x,y;
};

x為整數部分，y為複數係數，此處複數以w為單位。

然後這個演算法就差不多了，下面給出模板題程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll w;
struct num
{
    ll x,y;
};
 
//複數定義
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1ll*ans%p*a%p;
        a=a%p*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}//快速冪
num mul(num a,num b,ll p)
{
    num ans={0,0};
    ans.x=(((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p))%p+p)%p;
    ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p+p)%p;
    return ans;
}//複數乘法
ll powi(num a,ll b,ll p)
{
    num ans={1,0};
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a,p);
        a=mul(a,a,p);
        b>>=1;
    }
    return ans.x%p;
}//複數快速冪
ll solve(ll n,ll p)
{
    n%=p;
    if(p==2) return n;//特判減少常數
    if(ksm(n,(p-1)/2,p)==p-1) return -1;
    ll a;
    while(1)
    {
        a=rand()%p;
        w=((a*a%p-n)%p+p)%p;
        if(ksm(w,(p-1)/2,p)==p-1) break ;
    }//求a
    num x={a,1};//複數初定義
    return powi(x,(p+1)/2,p);
}
int main()
{
    srand(time(0));
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n,p;
        cin>>n>>p;
        if(!n)
        {
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        ll ans1=solve(n,p),ans2;
        if(ans1==-1) cout<<"Hola!"<<endl;
        else
        {
            ans2=p-ans1;
            if(ans1>ans2) swap(ans1,ans2);
            if(ans1==ans2) cout<<ans1<<endl;
            else cout<<ans1<<' '<<ans2<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

好的，就到這裡結束了。但其實這個演算法中間有很多證明過程我沒寫，有的我也不太懂，但解題誰還管你證明？（手動狗頭）話說我開始給的網址講的算比較詳細了，但下面複數運算就沒講了，於是我又去百度&&洛谷題解區找了找，最後整合成這篇文章。（大體還行，細節就別細究了）

總結：

哎，寫部落格真好玩啊。（又在水總結）等我數學功底強一點了，我再去挑戰高次方程的巔峰方程吧。（手動狗頭）