\(\text{Problem}:\)Coloring Torus

\(\text{Solution}:\)

首先考慮當 \(K\leq 500\)​ 時如何構造。一種顯然的構造方式是第 \(i\) 行全為 \(i\)。但經嘗試，這種構造方式難以推廣到 \(K>n\)。

注意該矩陣滿足的性質。不難發現，當 \(a_{i,j}=a_{i+1,j+1}\)​ 時，只需滿足集合 \(\{a_{i-1,j},a_{i,j-1}\}\)​ 與 \(\{a_{i+2,j+1},a_{i+1,j+2}\}\)​​ 相等。而 \(a_{i,j},a_{i+1,j+1}\)​ 位於同一條對角線上。如果令 \(a_{i-1,j}=a_{i+1,j+2}\)

答案是肯定的。若對角線可以無限延長，那麼只需對每一條對角線賦不同的值即可。但是在矩陣的 \(2n-1\) 條有限長的對角線上，可以發現，對前 \(n\)​ 條對角線（此處對角線按照從左上往右下的順序標號，下同）賦 \(n\) 種不同的值，而第 \(i+n\) 條對角線上的權值應與第 \(i\) 條對角線上的權值相同。這樣就解決了 \(K\leq n\) 的問題。

當 \(K>n\) 時，考慮重新迴歸到一開始找出的矩陣性質。當 \(a_{i-1,j}\)

\(\text{Code}:\)​

#include <bits/stdc++.h>
//#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=1010;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int K,n,a[N][N];
signed main()
{
	K=read();
	n=min(K,500);
	printf("%d\n",n);
	for(ri int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(ri int j=1;j<=n;j++)
		{
			a[i][j]=(i+j-2)%n+1;
		}
	}
	K-=n;
	for(ri int T=1;T<=K;T++)
	{
		int cnt=0;
		for(ri int i=1;i<=T;i++)
		{
			cnt++;
			if(cnt&1) a[i][T-i+1]=T+n;
		}
		for(ri int i=1;i<=n-T;i++)
		{
			cnt++;
			if(cnt&1) a[i+T][n-i+1]=T+n;
		}
	}
	for(ri int i=1;i<=n;i++,puts(""))
	for(ri int j=1;j<=n;j++)
	printf("%d ",a[i][j]);
	return 0;
}