一、遞迴與分治策略
一、概述
1.設計思想
遞迴：直接或間接地呼叫自身
分治法：將一個規模為n的難以解決的大問題劃分成k個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質和解法類似，遞迴求解這些子問題，再合併子問題的解得到原問題的解
2.求解過程
（1）劃分（平衡子問題、獨立子問題）
（2）求解子問題（遞迴、迴圈）
（3）合併（對演算法效率影響較大）
二、例題總結
（前面5個問題運用遞迴策略，後面運用分治策略）
1.階乘函式
遞迴定義式：
遞迴實現：
2.Fibonacci數列
遞歸定義式：
遞迴實現：
演算法改進：避免重複計算，自下而上計算，由f(0)和f(1)算出f(2)...
3.排列生成問題
遞迴關係：
（1）將n個元素看成由兩部分組成：第一部分是第一個元素，第二部分是後面所有元素；
（2）將生成排列過程看作兩步：第一步求所有可能出現在第一個位置的元素，即把第一個元素與後面所有元素交換；第二步固定第一個元素，求後面所有元素的排列。
Perm(R)的遞迴演算法實現：
4.整數劃分問題
將正整數n表示成一系列正整數之和，稱這種表示為正整數n的劃分，稱n的不同劃分個數為正整數n的劃分數，記作p(n)
5.Hanoi塔問題
6.折半查詢
7.大整數乘法（演算法思想>程式碼）
8.Strassen矩陣乘法
9.棋盤覆蓋
棋盤覆蓋問題(board cover problem)要求用4中不同形狀的L型骨牌覆蓋給定棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何兩個L型骨牌不得重複覆蓋。
分治策略：將棋盤劃分為大小相等的子棋盤，並且每個子棋盤均包含一個特殊方格，從而將原問題分解為規模較小的子問題。具體步驟如下：將2k*2k棋盤劃分為4個2k-1*2k-1子棋盤，特殊方格必位於4個較小子棋盤之一中，其餘3個子棋盤無特殊方格，用一個L型骨牌覆蓋這3個較小棋盤的匯合處，又得到3個具有特殊方格的子棋盤，從而將原問題轉換為4個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞迴使用這種分割，直至棋盤簡化為1*1棋盤。
演算法實現：
演算法分析：
10.歸併排序
按記錄在序列中的位置對序列進行劃分，穩定的演算法
演算法思想：
將待排序序列劃分為長度大致相等的兩個子序列，若子序列長度為1，則劃分結束，否則繼續執行劃分，最後得到n個長度為1的有序子序列
不斷進行兩兩合併，用歸併演算法將它們排序；
如此繼續下去，直至得到一個長度為n的有序序列。
演算法實現：設將兩個相鄰有序子序列r[s]~r[m]和r[m+1]~r[t]合併為一個有序序列r1[s]~r1[t]，函式Merge實現合併操作。
演算法分析：
11.快速排序
按照記錄的值對序列進行劃分，不穩定的演算法
演算法思想：
演算法實現：
演算法分析：
12.最近點對問題
給定平面上n個點，找其中的一對點，使得在n個點組成的所有點對中，該點對間的距離最小。(只找其中一對最近點即可)
演算法思想：
（1）劃分：將集合S劃分為兩個子集S1和S2，根據平衡子問題原則，每個子集大約包含n/2個點，設最近點對為Pi和Pj，有以下三種情況：
①Pi和Pj均在S1中；
②Pi和Pj均在S2中；
③Pi在S1中，Pj在S2中。
（2）求解子問題：情況①②可遞迴求解：l為S中各點x座標的中位數，垂線x=l將S劃分為S1和S2，遞迴地在S1和S2中求解最近點對問題，得到最近距離d=min{d1,d2}；
情況③：設P1是S1中距離垂線l在長度d之內的所有點集，P2是S2中距離垂線l在長度d之內的所有點集；
將P1和P2中的點依其y座標值排序，設p(x,y)是y座標最小的點(P1和P2都有可能)；
依次處理P1，P2中的點，在y座標區間[y,y+d]內最多選出8個候選點，計算它們和點p之間的距離，最後得到最近距離d3；
（3）合併：比較d1、d2和d3，選取最小距離作為原問題的解。
演算法實現：
演算法分析：
13.迴圈賽日程表
演算法思想：
演算法實現：