數論函式：定義域在正整數的函式，更一般的說可以是定義在整數上的。

性質

\[1.(f+g)(x)=f(x)+g(x) \\ 2.(nf)(x)=n*f(x) \\ \]

現在設有數論函式h,g,f
若

\[ h(N)=\sum_{d \backslash N} f(d)g(\frac{N}{d}) \]

那麼h就被稱f和d的狄利克雷卷積，可以記作h=f*g ，這裡的乘號是卷積乘.
eg.\(h(6)=f(1)g(6)+f(2)g(3)+f(3)g(2)+f(6)g(1)\)

性質:
1.
定義單位函式\(\varepsilon\)為狄利克雷卷積的單位元，對於任意函式f，都\(f*\varepsilon=\varepsilon*f=f\)

\[\varepsilon(x) = [x=1] \]

3.狄利克雷卷積滿足\(結合律f*(g*t)=(f*g)*t,交換律f*g=g*f,分配律f*(t+g)=f*t+f*g\)

4.如果f和g都是積性函式，那麼它們的狄利克雷卷積也是積性函式,那麼就可以用尤拉篩來篩狄利克雷卷積，其實還有其他作用.
5.有逆元

計算狄利克雷卷積

計算h(N)需要列舉N的約數。時間複雜度\(O(\sqrt N)\)
求前N項的h(x)，時間複雜度為\(O(N \ log \ N)\)

求狄利克雷卷積的逆元
狄利克雷卷積有一個性質：對每個\(f(1)≠0\)的函式f，都存在一個函式g使得 \(f∗g=ϵ\)
定義

\[g(n)=\frac{1}{f(1)}([n=1]-\sum_{i \mid n, i \neq 1} f(i) g(\frac{n}{i}) \ \ ) \]\[\begin{aligned} & \sum_{i \mid n} f(i) g(\frac{n}{i}) \\ =& f(1) g(n)+\sum_{i \backslash n, i \neq 1} f(i) g(\frac{n}{i}) \\ =&[n=1] \end{aligned} \]

應用:見莫反證明咯

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