狄利克雷卷積

設\(f: N\rightarrow R g:N\rightarrow R\)是兩個函式
則它們的狄利克雷卷積為\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)

命題

如果\(f(n)和g(n)為積性函式，則h(n)=(f*g)(n)也為積性函式\)

定理

\(\:\:\:\:f=g*1 \Leftarrow\Rightarrow g=f*\mu\)

則\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\Leftarrow\Rightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)\)

性質

交換律\(f*g=g*f\)

一些函式

單位函式\(\epsilon(n)=[n=1]\)
冪指函式\(Id_k(n)=n^k\)，當\(k=1,Id(n)=n\)，當\(k=0,Id_0(n)=1\)
除數函式\(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\)，當\(k=1,\sigma(n)\)為n的因數和，當\(k=0,\sigma_0(n)\)為因數個數
尤拉函式\(\phi(n)\)
這四個函式都是積性函式
前兩個為完全積性函式\(f(a)f(b)=f(ab)\)，其中a,b不用滿足互質

一些公式

根據定義\((f*1)(n)=\sum_{d|n}f(d)\)

• \((Id_k(n)*1)(n)=\sum_{d|n}Id_k(d)=\sum_{d|n}d^k=\sigma_k(n)\)
• 根據\((\phi*1)(n)=\sum_{d|n}\phi(d)\)
  當\(n=p^m\)（p為質數）
  \(\sum_{d|n}\phi(d)=\phi(1)+\sum_{i=1}^m\phi(p^i)=1+\sum_{i=1}^m(p^i-p^{i-1})=p^m=n\)
  若\(n=p_1^{m_1}···p_k^{m_k}=\prod_{i=1}^kp_i^{m_i}\)
  由於\((\phi*1)(n)\)為積性函式
  \((\phi*1)(n)=\prod_{i=1}^k(\phi*1)(p_i^{m_i})=n\)
  所以公式為\(\phi*1=Id_1\)
  根據前面所述的定理\(\phi=\mu*Id\)
• \((\epsilon*1)(n)=\sum_{d|n}[d=1]{(\frac{n}{d})}^k=\)
  則\(\epsilon=\mu*Id\)