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零、理解與感悟

1、通過楊輝三角形象記憶帕斯卡公式（程式碼實現的遞推式）

2、二維字首和優化
這裡需要注意的是要根據題意，抽象中一箇中間態的a陣列，模擬二維字首和的前置原始陣列。這個陣列的獲取有一點點說道，因為所有C陣列資料初始值是0，而我們要根據是0，才會把a陣列對應位置存入1，這時，就可能把範圍外的0也錯誤的記錄到a陣列中。
所以，下面的程式碼第一層迴圈表示是從N個數中取，第二層表示取i個最多，這樣才不會超界，第二層迴圈千萬不要無腦的寫成j=1;j<N;j++，這樣就不是組合數的範圍了，那樣的C[i][j]=0，也不知道是原始的0，還是算完的0了。

  for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (!C[i][j])a[i][j] = 1;//如果組合數陣列的數字為0，表示此處有一個0
 

一、帕斯卡公式（楊輝三角）+暴力計算

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的數值上限

int t;       //t次查詢
int n;       //n個數字中
int m;       //找m個數字組合
int k;       //給定k，求k的倍數
int C[N][N]; //組合數陣列

int main() {
    cin >> t >> k;
    //預處理楊輝三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //組合數C(n,0)=1 組合數C(n,n)=c(n,0)=1
        //遞推生成其它組合數
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;
    }

    //處理t次詢問
    while (t--) {
        int ans = 0;
        cin >> n >> m;
        //這是最樸素的方法，但每次計算，效能差，因為詢問次數多，每次都現從頭計算，
        //不是離線計算，是線上計算，不適合多次詢問這一方式,可以考慮採用某一種方法進行離線計算就好了。
        //這時就需要引入二維字首和，否則有兩個點TLE，只會得90分。
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= min(i, m); j++)
                if (!C[i][j]) ans++;
        cout << ans << endl;
    }
}

 

二、帕斯卡公式+二維字首和優化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的數值上限

int t;       //t次查詢
int n;       //n個數字中
int m;       //找m個數字組合
int k;       //給定k，求k的倍數
int C[N][N]; //組合數陣列
int a[N][N]; //因為組合數C陣列，內容並不是1的個數，需要一個轉換，這個轉換就是a陣列。
int s[N][N]; //二維字首和

int main() {
    cin >> t >> k;
    //預處理楊輝三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //組合數C(n,0)=1 組合數C(n,n)=c(n,0)=1
        //遞推生成其它組合數
        //因為是求組合數C(A,B)，那麼A一定要大於等於B，否則就不對了。
        //所以，j的迴圈範圍最大就只能是i
        for (int j = 1; j < i; j++)//因為一頭一尾j-->0和i都被手動設定了1，所以迴圈的範圍就是中間剩下的了。
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;//因為C陣列中已有的資料都是被%k後存入的，
            // 所以這裡做加法前不用再%,再%也是那麼回事，反而速度更慢了。
    }
    //生成模擬原始陣列
    //因為是求組合數C(A,B)，那麼A一定要大於等於B，否則就不對了。
    //所以，j的迴圈範圍最大就只能是i,其它的範圍，還是預設值0，但那個預設值0可不是%k後造成的值為0，所以，這裡的生成模擬原始陣列時，
    //一定要注意迴圈的範圍，判斷在範圍內的值為0的才是一個解，範圍外的和我沒關係。
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (!C[i][j])a[i][j] = 1;//如果組合數陣列的數字為0，表示此處有一個0

    //標準的二維字首和
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            s[i][j] = a[i][j] + s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1];

    //處理t次詢問
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        cout << s[n][m] << endl;
    }
}