2021杭電多校第二場1010（找規律，快速乘）

Problem - 6970 (hdu.edu.cn)

思路：

通過打表，可以得出獲得的序列一定是一個長度為p-1的排列

令這個排列為\(\pi\),排列的第i個數為\(\pi(i)\),排列的逆序對數為\(n(\pi)\),計\(sgn(\pi)=(-1)^{n(\pi)}\)

很明顯\(sgn(\pi)=\frac{\prod_{0<i<j\le p-1}\pi(i)-\pi(j)}{\prod_{0<i<j\le p-1}i-j}=\prod_{0<i<j\le p-1}\frac{\pi(i)-\pi(j)}{i-j}\)

由本題中的定義\(\pi(i)=ia\ (mod\ p)\)

\(\prod_{0<i<j\le p-1}\frac{\pi(i)-\pi(j)}{i-j}=\prod_{0<i<j\le p-1}\frac{ai-aj}{i-j}=a^{\frac{p(p-1)}{2}}\equiv a^{\frac{p}{2}}\ (mod\ p)\)

這裡我個人認為按費馬小定理化出來的結果是\(a^{\frac{p}{2}}\),但官方題解這裡給了\(a^{\frac{p-1}{2}}\)(可能是為了湊二次剩餘的形式看起來好看？)，但由於題目保證p為一個奇素數，所以\(\frac{p}{2}=\frac{p-1}{2}\)

然後我們只需要計算\(a^{\frac{p}{2}}\ (mod\ p)\) 即可判斷\(n(\pi)\)的奇偶

注意\(1\le a,p\le 1e18\)中間需要用到快速乘，但樸素的快速乘會T，題解這裡貌似用到了什麼黑科技

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long mod;
long long mul(long long a,long long b)
{
	long long res=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			res=(res+a);
			if(res>=mod)res-=mod;
		}
		a=(a<<1);
		if(a>=mod)a-=mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline long long Mul(long long x,long long y){
    long long tmp=(x*y-(long long)((long double)x/mod*y+1.0e-8)*mod);
    return (tmp+mod)%mod;
}
long long ksm(long long a,long long b)
{
	long long res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=Mul(res,a);
		a=Mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
} 
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		long long a;
		scanf("%lld%lld",&a,&mod);
		if(ksm(a,(mod)/2)==1)puts("0");
		else puts("1");
	}
	return 0;
}