前言

大家好，感謝大家對前兩篇部落格的支援。今天我準備提供歸併，快排，快速選擇的筆記，這三個是分治演演算法的典型例子。這次有利用疊縮證明演演算法的時間界限哦！，另外程式碼已經放到碼雲上啦。

分治演演算法

分治演演算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程式演演算法，簡單問題可用二分法完成。
歸併，快排，快速選擇是分治思想的三個典型例子。

Java中對應的演演算法

一般排序使用Java提供的歸併演演算法，即Collections.sort(..)。快速選擇一般用於解決TopN問題， 下面分別介紹三個演演算法。

1歸併排序

簡介

歸併排序（MERGE-SORT）是建立在歸併操作上的一種有效的排序演演算法。

演演算法介紹

該演演算法的基本操作是合併兩個已排序的表，下面舉例說明合併過程：

演演算法描述詳細描述：

• 如果N=1，只有一個元素，直接返回
• 否則，前半部分和後半部分各自進行歸併排序，得到排序過的兩部分，之後按照上面的演演算法進行合併。

核心程式碼示例

private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> 
	void mergeSort(AnyType[] a,AnyType[] tmpArray,int left,int right) {
 if
 
 (left < right) {
	int center = (left + right) / 2;
	// 如下方式排除了只有3個元素的情況，只有三個元素是 center=1
	mergeSort(a,tmpArray,left,center);
	mergeSort(a,center + 1,right);
	merge(a,right);
  }
}

/**
 * 合併函式，歸併排序的基本步驟
 * @param a 原始資料陣列
 * @param tmpArray 歸併使用的第三個臨時陣列
 * @param leftPos  左邊部分開始，對應圖上Actr初始位置
 * @param rightPos 右邊開始  ，對應Bctr初始位置
 * @param rightEnd 右邊結束  ，對應Bctr結束位置
*/
private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> 
	void merge(AnyType[] a,int leftPos,int rightPos,int rightEnd) {
	// 一定範圍內合併
	//左邊結束，對應圖上Actr結束位置
	int leftEnd = rightPos - 1;
	int tmpPos = leftPos;
	//本次合併總共包含的元素數量
	int numElements = rightEnd - leftPos + 1;
	//進行歸併
	while
 
 (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd) {
	    if (a[leftPos].compareTo(a[rightPos]) <= 0) {
		tmpArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
	    } else {
		tmpArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
	    }
	}
	while (leftPos <= leftEnd) {
		tmpArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
	}
	while (rightPos <= rightEnd) {
		tmpArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
	}
	// 將排序過的資料拷貝會原始陣列，【只有rightEnd沒有變化】。
	for (int i = 0; i < numElements; i++,rightEnd--) {
		a[rightEnd] = tmpArray[rightEnd];
	}
}
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分析

根據前面的描述可以得出如下通項公式：

使用疊縮求和，進行推導，兩邊除以N

之後兩邊同乘以N，得到時間界：

2快速排序

簡介

快速排序（Quicksort） 的基本思想是：通過一趟排序將要排序的資料分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有資料都比另外一部分的所有資料都要小，然後再按此方法對這兩部分資料分別進行快速排序，整個排序過程可以遞迴進行，以此達到整個資料變成有序序列

演演算法介紹

• 簡單4步

1. 如果S中元素個數為0或1，則返回，或者S中元素小於CUTOFF，則將S排序
2. 以三數中值取樞元v
3. 將S-{v}劃分為兩個不相交集合，並確定樞元v的位置：
   

4. 按如下順序分治其餘部分處理
   

• 舉例說明
• • 三數中值取樞元
    即左端，右端和中心的中值作為樞元，（實際能夠減少14%的比較次數）. 將最小值放到左端， 最大值放到右端， 中值放到次右端， 原中值處放次右端值。
    

• • 分割示意
    

核心程式碼示意

/**
* 三數中值分割法
* @param a 原始陣列
* @param left 左邊界
* @param right 右邊界
* @return 返回樞元
*/
private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> 
	AnyType median3(AnyType[] a,int right) {
	int center=(left+right)/2;
	if(a[center].compareTo(a[left])<0){
		swapReferences(a,center);
	}
	if(a[right].compareTo(a[left])<0){
		swapReferences(a,right);
	}
	if(a[right].compareTo(a[center])<0){
		swapReferences(a,center,right);
	}
		swapReferences(a,right-1);
	return a[right-1];
}

/**
 * 快排核心
 * @param a 原始陣列
 * @param left 左邊界
 * @param right 右邊界
 */
private static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>>
  void quickSort(AnyType[] a,int right) {
	if(left+CUTOFF<=right){
		//三數中值分割法，取樞元
		AnyType pivot=median3(a,right);
		int i=left;
		int j=right-1;
		while(true){
			//i找大於樞元的元素
			while(a[++i].compareTo(pivot)<0);
			//j找小於樞元的元素
			while(a[--j].compareTo(pivot)>0);
			if(i<j){
				swapReferences(a,i,j);
			}else{//i>j,此輪分割結束
				break;
			}
		}
	//交換i,與樞元
	swapReferences(a,right-1);
	//分治進行，快排
	quickSort(a,i-1);
	quickSort(a,i+1,right);
	}else{
		insertSort(a,right);
	}
}
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時間複雜度

• 最壞情況

• 平均情況和最好情況

• 平均情況分析

假設S1，每個大小都是等可能的。
由於該假設，可知

的平均值為

進行求和：

3快速選擇

問題描述

亂序集合中找到第K個最小元。

演演算法介紹

依照快排思路進行處理：

1. 如果S=1，K=1將S中元素直接返回，若

程式碼

/**
* 快速選擇核心
* @param a 原始陣列
* @param left 左邊界
* @param right 右邊界
* @param k  需要選擇的位
*/
private static<AnyType extends Comparable<? super AnyType>> void 
quickSelect(AnyType[] a,int right,int k) {	
if(left+CUTOFF<=right){
	AnyType pivot=median3(a,right);
	int i=left;
	int j=right-1;
	while(true){
		while(a[++i].compareTo(pivot)<0);
		while(a[--j].compareTo(pivot)>0);
		if(i<j){
			swapReferences(a,j);
		}else{
			break;
		}
	}
	swapReferences(a,right-1);
	if(k<=i){
		quickSelect(a,i-1,k);
	}else if(k>i+1){
		quickSelect(a,right,k);
	}
}else{
 insertSort(a,right);
 }
}
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總結

1. 快排和歸併排序演演算法的平均時間界限是NlogN，Java預設使用歸併演演算法。
2. 快速選擇是TopN演演算法的經典解法，但是本人工程中用到較少

完整程式碼地址：

碼雲： 歸併&快排: 點選檢視 快速選擇 : 點選檢視
github： 歸併&快排 快速選擇