求堆中的路徑，其實是可以看作是一道最小堆（小頂堆）的板子題。主要問題是解決建立最小堆，問題就可以迎刃而解了。

因此我們將此問題分解成兩個子問題，第一步是建立最小堆，第二步是輸出路徑。其中建立最小堆更為關鍵，輸出路徑則容易得多。

一、建立最小堆

【關鍵詞】最小堆，線上處理，一維陣列，遞迴，完全二叉樹

【知識點Tips】

　　1.線上處理：每當輸入一個數字，就實時進行操作。

　　2.完全二叉樹：一層一層按照順序填入的二叉樹。當不能全部填滿的時候，最後一層靠左填滿。（表達能力有限，類似下圖的既為完全二叉樹）

　　3.最小堆：父結點的數字比它的左右子結點的數字小即可。至於左右子結點的大小與它們在左在右並無關係。

【最小堆建立的背景】給定數字個數與一列數字，要求輸出按照最小堆方法的陣列。

【例】

　　5

　　46 23 26 24 10

【思考步驟】

　　第一步：獲取46後，因為是空堆，所以我們直接將其插入陣列第一位。a[1]=46。

　　第二步：獲取23後，我們先將其直接接在陣列a的最後一個元素46後面。a[2]=23，陣列a暫時為46 23。我們要保證，每次新插入一個數字後的陣列是一個標準的最小堆陣列，因此要實時給出操作。所以我們要比較編號為2與其編號為2/2=1的父結點的大小。若比父結點小，則交換兩者位置，從而保證小的結點總在上面。

　　第三步：獲取26後，我們先將其直接接在陣列a的最後一個元素46後面。a[3]=26，陣列a暫時為23 46 26。按照上面所講述原則，我們比較編號為3與其編號為3/2=1（至於為什麼3/2=1則參照上文Tips3）的父結點的大小。26>23，則我們不改變陣列位置。因為23已經是陣列第一位了，則陣列a為23 46 26。

　　第四步：獲取24後，直接接在a陣列後面。a[4]=24，陣列a暫時為23 46 26 24。比較編號為4的24與其編號為4/2=2的父結點46的大小。24<46，則交換24與46的位置，陣列a暫時為23 24 26 46。

　　第五步：獲取10後直接接在a陣列後面，則陣列a暫時為23 24 26 46 10。比較編號為5的10與其編號為5/2=2的父結點24的大小。10<24，則交換10與24的位置，陣列a暫時為23 10 26 46 24。比較編號為2的10與其編號為2/2=1的父結點23的大小。10<23，則交換10與23的位置。因為此時已經比較到陣列的首位，所以陣列a結果為10 23 26 46 24。

【關鍵提要】

　　可見，我們對於每一個新加入的數字進行的操作都是相同的，即：先接在陣列後面，再把新數字像“冒泡”一樣跟其父結點比較，若比父結點小則交換，直至陣列首位。以及子結點跟父結點有關係，則我們很容易想到用遞迴來解決此問題。

二、輸出路徑

　　既然我們已經成功建立了最小堆的陣列，以及清楚了子結點與父結點的關係後，輸出路徑已經不是難事了。輸出即：子結點，每次的子結點的編號/2的結點值，直至編號到1.

　　在這裡我用了一個小技巧。添加了一個bool值來將建立最小堆和輸出路徑在一個函式裡解決。建立的標誌是0，要輸出的標誌是1.要記得每次輸出要放在函式的開頭，要不然在結點編號為1的時候直接return則沒機會輸出了。

三、AC程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int a[100001];
bool flag;

void func(int index,bool f) {
    if (flag) {
        cout << a[index];
        if (index != 1) {
            cout << " ";
        }
    }
    if (index == 1) {
        return;
    }
    if (a[index / 2] > a[index]) {
        int t = a[index];
        a[index] = a[index / 2];
        a[index / 2] = t;
    }
    func(index / 2, flag);
}
int main()
{
    cin >> n  >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        func(i, flag);
    }
    int t;
    flag = 1;
    while (m--) {
        cin >> t;
        func(t, flag);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}