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題解 CF1556E 【Equilibrium】

題目意思:

\(n\) 組數 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)\(q\) 次獨立的詢問,每次詢問區間 \(l\sim r\),求多少次“平衡操作”使得每個滿足 \(l\le i\le r\)\(i\) 都有 \(a_i=b_i\),無法完成輸出 -1

平衡操作指的是給出一個長度為偶數位置序列 \(l\le pos_1<pos_2<\cdots<pos_k\le r\),進行操作:\(a_{pos_1},a_{pos_3},a_{pos_5},\cdots\) 加上 1,\(b_{pos_2}\) 加上 1。

我們發現如果 \(a_i\) 減去 1,那麼就相當於是 \(a_i-b_i\) 減去 \(1\)。我們發現如果 \(b_i\) 減去 1,那麼就相當於是 \(a_i-b_i\) 加上 \(1\),最終要讓每個滿足 \(l\le i\le r\)\(i\) 都有 \(a_i-b_i=0\)

我們去觀察它的操作序列,實際上這些元素是分成了若干個組,比如 \(po s_1\)\(pos_2\)

我們把 \(a_i-b_i\) 這個東西字首和一下,\(s_i\) 表示 \((a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\cdots+(a_i-b_i)\),就會發現每組操作 \(pos_1,pos_2\)

,相當於是在字首和上區間加 \(s_{pos_1}\sim s_{pos_2-1}\) 區間加 1。

-1 就是 2 種情況:

  1. \(s_r\ne s_{l-1}\)
  2. \(\max\limits_{i=l}^{r}\{s_i\}>s_{l-1}\) (因為是區間加 1)

答案是 \(s_{l-1}-\min\limits_{i=l}^{r}\{s_i\}\),都不是很困難。

區間查詢 \(\max\)\(\min\),用 ST 表實現即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define log(a) cerr<<"[DEBUG] "<<#a<<'='<<(a)<<" @ line "<<__LINE__<<endl
using namespace std;
typedef long long LL;
template<typename T>void chkmax(T&x,T y){x=max(x,y);}
template<typename T>void chkmin(T&x,T y){x=min(x,y);}
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}
const int N=1e5+10,M=25;
int a[N],f[N],lg[N],mxn[M][N],mnn[M][N];
pair<int,int>query(int l,int r){
	int len=lg[r-l+1];
	return make_pair(max(mxn[len][l],mxn[len][r-(1<<len)+1]),min(mnn[len][l],mnn[len][r-(1<<len)+1]));
}
signed main(){
	int n,q;
	read(n);read(q);
	for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		read(x);
		a[i]-=x;
		f[i]=f[i-1]+a[i];
	}
	// cout<<"->f";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<f[i]<<" ";cout<<endl;
	for(int i=0;i<=20;i++)
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
			if(i==0)mxn[i][j]=mnn[i][j]=f[j];
			else{
				mxn[i][j]=max(mxn[i-1][j],mxn[i-1][j+(1<<(i-1))]);
				mnn[i][j]=min(mnn[i-1][j],mnn[i-1][j+(1<<(i-1))]);
			}
	// log(mnn[2][2]);
	while(q--){
		int l,r;
		read(l);read(r);
		pair<int,int>a=query(l,r);
		// log(a.first);log(a.second);
		if(f[r]!=f[l-1]||a.first>f[l-1])puts("-1");
		else cout<<f[l-1]-a.second<<endl;
	}
	return 0;
}