基本形式

\[f(S)=\sum_{T \subseteq S} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T) \]

證明

\[\begin{aligned} & \sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T) \\ =& \sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \sum_{Q \in T} g(Q) \\ =& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) \sum_{Q \subseteq T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \\ =& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) \sum_{T \subseteq(S \backslash Q)}(-1)^{|S \backslash Q|-|T|} \\ =& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) h(S \backslash Q) \end{aligned} \]

其中

\[\begin{aligned} h(S) &=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \\ &=\sum_{i=0}^{|S|}\left(\begin{array}{c} |S| \\ i \end{array}\right)(-1)^{|S|-i} \\ &=(1-1)^{|S|} \\ &=[S=\varnothing] \end{aligned} \]

有

\[\sum_{Q \subseteq S} g(Q)[(S \backslash Q)=\varnothing]=g(S) \]

擴充套件形式

\[f(S) = \sum_{S \subseteq T} g(T) \]

取補集。

\[f'(S) = f(U / S) = \sum_{U / S \subseteq U /T} g(U /T) = \sum_{T \subseteq S} g'(T) \]\[f'(S)=\sum_{T \subseteq S} g'(T) \Leftrightarrow g'(S) = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} f'(T) \]

再取補集。

\[ f(S)=\sum_{S\subseteq T} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{S\subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} f(T) \]