P6478-[NOI Online #2 提高組]遊戲【dp,二項式反演】
阿新 • • 發佈:2021-12-20
正題
題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P6478
題目大意
給出\(2m\)個點的一棵樹,有\(m\)個白點\(m\)個黑點。
每個白點匹配一個黑點。
對於每個\(k\in[0,m]\)求恰好有\(k\)個匹配存在祖孫關係的方案。
答案對\(998244353\)取模。
\(1\leq n\leq 5000\)
解題思路
先考慮一個基礎的樹形\(dp\),設\(f_{x,i}\)表示\(x\)的子樹中已經選出了\(i\)對有祖孫關係的匹配的方案。
這個\(dp\)我們可以通過列舉子樹大小的方式做到\(O(n^2)\)轉移。
假設\(g_i\)表示恰好有\(i\)
然後二項式反演就是
\[g_i=\sum_{j=i}^m(-1)^{j-i}\binom{j}{i}(n-j)!f_j \]時間複雜度:\(O(n^2)\)
code
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5100,P=998244353; struct node{ ll to,next; }a[N<<1]; ll n,tot,ls[N],f[N][N/2],g[N/2],h[N],s0[N],s1[N],fac[N],inv[N]; char s[N]; void addl(ll x,ll y){ a[++tot].to=y; a[tot].next=ls[x]; ls[x]=tot;return; } void dfs(ll x,ll fa){ f[x][0]=1; for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ ll y=a[i].to; if(y==fa)continue;dfs(y,x); for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++) for(ll k=0;k<=min(s0[y],s1[y]);k++) (g[j+k]+=f[x][j]*f[y][k]%P)%=P; s0[x]+=s0[y];s1[x]+=s1[y]; for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++) f[x][j]=g[j],g[j]=0; } if(s[x]=='0'){ s0[x]++; for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--) (f[x][i+1]+=f[x][i]*(s1[x]-i))%=P; } else{ s1[x]++; for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--) (f[x][i+1]+=f[x][i]*(s0[x]-i))%=P; } return; } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} signed main() { fac[0]=inv[0]=inv[1]=1; for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P; for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P; scanf("%lld",&n); scanf("%s",s+1); for(ll i=1,x,y;i<n;i++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); addl(x,y);addl(y,x); } dfs(1,0);ll m=n>>1; for(ll i=0;i<=m;i++)h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P; for(ll i=0;i<=m;i++){ // h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P; for(ll j=i+1;j<=m;j++) (h[i]+=h[j]*C(j,i)*(((j-i)&1)?(-1):1)%P)%=P; // h[i]=h[i]*fac[m-i]%P; } // for(ll i=0;i<=m;i++) // h[i]=(h[i]-h[i+1]+P)%P; for(ll i=0;i<=m;i++) printf("%lld\n",(h[i]+P)%P); return 0; }