今天是LeetCode專題第50篇文章，我們來聊聊LeetCode中的81題Search in Rotated Sorted ArrayII。

它的官方難度是Medium，點贊1251，反對470，通過率32.8%。從通過率上來看，這題屬於Medium難度當中偏難一些的題目，也的確如此，稍稍有些考驗思維。

題意

假設我們有一個含有重複元素的有序陣列，我們隨意選擇一個位置將它分成兩半，然後將這兩個部分調換順序拼接成一個新的陣列。現在給定一個target，要求返回一個bool結果，表明target是否在陣列當中。

樣例

Input: nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 0
 

Output: true

Input: nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 3

Output: false

如果是你按照順序刷LeetCode或者是本專題的話，你會發現我們在之前做過一道非常相似的題目。它就是LeetCode的33題，Search in Rotated Sorted ArrayI。不過不同的是，在33題的題意當中，明確表明了陣列當中的元素是不包含重複元素的，除此之外，這兩題的題意完全一樣。

LeetCode 33，在不滿足二分的陣列內使用二分的方法

這麼一點小小的差別會帶來解法的變化嗎？

題解

答案當然是肯定的，不然出題人可以退休了。

問題是，問題出在哪裡呢？

我們先不著急，先來回憶一下33題中的做法。我們當時使用了一個最簡單的笨辦法，就是先通過二分法找到陣列截斷的位置。然後再通過截斷的位置還原出原陣列的情況，根據我們target的大小，找到它可能存在的位置。

但是在當前這個問題當中，這個思路走不通了。走不通的原因也很簡單，就是因為重複元素的存在。

舉個例子：[1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

當我們進行二分查詢的時候，發現mid是1和left的1相等，我們根本無法判斷截斷點究竟在mid的左側還是右側，二分查詢也就無從談起了。

我們當然可以退一步採用遍歷的方法去尋找切分點，但是既然如此，我們為什麼不直接去尋找答案呢？反正都已經是O(n)的複雜度了。所以這是行不通的，我們想要使得複雜度維持在

思路和解法很多時候不是憑空來的，需要我們對問題進行深入的分析。在這個問題當中，我們的問題是明確並且簡單的。就是一個調換了部分順序的有序陣列，只是我們不確定的是調換的部分究竟有多長。由於我們最終希望通過二分法來尋找答案，所以我們可以根據調換的元素是否過半想出兩種情況來。

我把這兩種情況用圖展示出來：

也就是說我們的分割點可能在陣列的前半段也可能在後半段，對於這兩種情況我們的處理方法是不同的。

我們先看第一種情況，陣列的前半段是有序的，後半段存在截斷。如果target的範圍在前半段當中，我們可以拋棄掉後半段，直接在前半段中進行二分。否則，我們需要捨棄前半段，在後半段當中重複這個過程。我們可以把後半段看成是一個全新的問題，也一樣可以分成兩種情況，類似於遞迴一樣的往下執行即可。

再來看第二種情況，第二種情況的後半段和第一種情況的前半段是一樣的，都是有序的元素，我們直接二分即可。它的前半段和第一種情況的後半段是一樣的，我們沒法判斷，需要繼續二分。

也就是說，我們只能在有序的陣列進行二分，如果當前陣列存在分段，不是整體有序的，那我們就對它進行拆分。拆分之後總能找到有序的部分，如果還找不到就繼續拆分。因為分段點只有一個，所以不論當前的陣列什麼樣，拆分一次之後，必然至少可以找到一段是有序的。

想明白這點之後就簡單了，看起來很像是遞迴，但實際上它的本質仍然是二分。程式碼並不難寫，但是還有一個問題沒解決，就是當nums[m] = nums[l]的時候，我們如何判斷是哪一種情況呢？

答案是沒法判斷，兩種情況都有可能，對於這種情況也沒有很好的辦法，我想出來的辦法是可以將l向右移動一位，相當於拋棄了一個最左側的數。我們把這些思路總結總結，程式碼也就出來了：

class Solution:

    def search(self, nums: List[int], target: int) -> bool:

        l, r = 0, len(nums)-1

        while l <= r:

            m = (l + r) >> 1

            if nums[m] == target:

                return True

            if nums[l] == nums[m]:

                l += 1

                continue

            if nums[l] < nums[m]:

                if nums[l] <= target < nums[m]:

                    r = m - 1

                else:

                    l = m + 1

            else:

                if nums[m] < target <= nums[r]:

                    l = m + 1

                else:

                    r = m - 1

        return False

總結

到這裡，我們關於這道題的題解就結束了。在問題的最後，出題人給我們留了一個問題，和33題比起來，這題的解法的時間複雜度會有變化嗎？

表面上看我們一樣用到了二分，所以同樣是log級的複雜度，問題的複雜度並沒有變化。但實際上並不是這樣的，我們來看一種最壞的情況，假設陣列當中所有的值全部相等。這個時候二分就不起效果了，最終會退化成O(n)的線性列舉，這樣又變成了O(n)的複雜度。當然，在大部分情況下，這並不會發生。所以是演演算法的最壞複雜度退化成了O(n)，平均複雜度依然是O(logN)。

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