條件概率和事件的獨立性
條件概率
已知事件 \(B\) 發生的條件下事件 \(A\) 發生的概率，記作 \(P(A|B)\) 。
條件概率公式：
\[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{p(B)} \]注意：\(P(A|B)\) 和 \(P(B|A)\) 意義不一樣。
慄題
題目大意
甲，乙兩地下雨的概率分別為 \(20\%\) 和 \(18\%\) ，兩地同時下雨的概率為 \(12\%\)
兩地同時下雨的概率為 \(12 \%\) ，求甲地下雨時，乙地也下雨的概率。
solution
\(P(A) = 20\%, P(B) = 18\%, P(A\cap B) = 12\%\)
套公式算就好了。
乘法公式
乘法公式
由條件概率的計算公式 \(P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}\) 得：
\[P(BA) = P(A)P(B|A) \]慄題
題目大意
某人忘記了電話號碼的最後一位，求他嘗試了兩次都不對的概率。
solution 1
設 \(A\) 表示第一次沒有撥對，\(B\) 表示第二次沒有撥對。
顯然 \(P(A) = \frac{9}{10}\) ，\(P(B|A) = \frac{8}{9}\) ，那麼 \(P(AB) = P(A)P(B|A)\)
\(P(AB) = \frac{4}{5}\)
solution 2
可以用排列組合來求解：
問題可以轉化為用 \(10\) 個數字排成數字不重複的兩位數，求某個特定數字不出現的概率。
答案就是 \(\frac{A_9^2}{A_{10}^{2}} = \frac{4}{5}\)
全概率公式
慄題
甲乙兩個人抽獎，甲先抽，問乙中獎的概率。
solution
設 \(A\) 表示甲中獎的概率，\(B\) 表示乙中獎的概率。
\(P(B) = P(AB + \overline{A}B) = P(BA) + P(\overline{A}B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})\)
其中
\[P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) \]為全概率公式。
應用
題目大意
有二十個人，抽二十張籤，不放回，第一個人抽到 \(1\) 號籤和後面的人抽到 \(1\) 號籤的概率相同麼。
solution
設 \(A_i\) 表示第 \(i\) 個人抽到 1 號，顯然 \(P(A_1) = \frac{1}{20}, P(\overline{A_1}) = \frac{19}{20}\)
\(P(A_2|A_1) = 0, P(A_2 | \overline A_1) = \frac{1}{19}\)
那麼
\[P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline A_1)P(A_2|\overline A_1) = \frac{1}{20} \]所以是公平的。
推廣
定理 若樣本空間 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 滿足：
（1）任意兩個事件均互斥，即 \(A_i A_j = \empty, i, j = 1, 2, \dots n, i\neq j\)
（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)
（3）\(P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots,n\)
則對 \(\Omega\) 中的任意事件 \(B\) ，都有 \(B = BA_1 + BA_2 + \dots BA_n\)， 且
\[P(B) = \sum_{i = 1}^{n} P(BA_i) = \sum_{i = 1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) \]該公式也叫全概率公式。
貝葉斯公式
已知 \(P(A), P(B|A), P(B|\overline A)\) 求 \(P(A|B)\)
由全概率公式和條件概率得到：
\(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\)
\(P(AB) = P(BA) = P(A)\times P(B|A)\)
\(P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)\)
然後就得到了貝葉斯公式
\[P(A|B) = \frac{P(A)(B|A)}{P(B)} = \frac{P(A)(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)} \]擴充套件
若樣本空間 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 滿足
（1）任意兩個事件互斥，即 \(A_iA_j = \empty, i, j = 1, 2, n, i\neq j\)
（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)
（3）\(1> P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots, n\)
則對 \(\Omega\) 中任意概率非零的事件 \(B\) ，有
\[P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{P(B)} = \frac{P(A_j)(B|A_j)}{\sum_{i = 1}^{n} p(A_i)P(B|A_i)} \]