§ 4 具有某些特性的函式

一 有界函式

定義 1 設 \(f\) 為定義在 \(D\) 上的函式 . 若存在數 \(M(L)\)，使得對每一個數 \(x\in D\)，有

則稱 \(f\) 為 \(D\) 上的 有上（下）界函式，\(M(L)\) 成為 \(f\) 在 \(D\) 上的一個上（下）界 .

定義 2 設 \(f\) 為定義在 \(D\) 上的函式 . 若存在正數 \(M\)，使得對每一個 \(x\in D\)，有

則稱 \(f\) 為 \(D\)

同樣地，設 \(f\) 為定義在 \(D\) 上的函式，若對任何 \(M\)（無論 \(M\) 有多大），都存在 \(x_0\in D\)，使得 \(f(x_0)>M\)，則稱 \(f\) 為 \(D\) 的無上界函式.

二 單調函式

定義 3 設 \(f\) 為定義在 \(D\) 上的函式 . 若對任何 \(x_1,x_2\in D\)，當 \(x_1<x_2\) 時，總有

1. \(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，則稱 \(f\) 為 \(D\) 上的（遞）增函式，特別當成立嚴格不等式 \(f(x_1)<f(x_2)\) 時，稱 \(f\) 為 \(D\)
   上的嚴格（遞）增函式；
2. \(f(x_1)\geqslant f(x_2)\)，則稱 \(f\) 為 \(D\) 上的（遞）減函式，特別當成立嚴格不等式 \(f(x_1)>f(x_2)\) 時，稱 \(f\) 為 \(D\) 上的嚴格（遞）減函式 .

增函式和減函式統稱為單調函式，嚴格增函式和嚴格減函式統稱為嚴格單調函式 .

定理 設 \(y=f(x)\ ,x\in D\) 為嚴格增（減）函式，則 \(f\) 必有反函式 \(f^{-1}\)，且 \(f^{-1}\) 在其定義域 \(f(D)\) 上也是嚴格增（減）函式 .

三 奇函式和偶函式

定義 4 設 \(D\) 為對稱於原點的數集，\(f\)

則稱 \(f\) 為 \(D\) 上的奇（偶）函式 .

四 周期函式

設 \(f\) 為定義在數集 \(D\) 上的函式 . 若存在 \(\sigma>0\)，使得對一切 \(x\in D,x\pm\sigma\in D\)，有 \(f(x\pm\sigma)=f(x)\)，則稱 \(f\) 為周期函式，\(\sigma\) 稱為 \(f\) 的一個週期 . 若在周期函式 \(f\) 的所有周期中有一個最小的週期，則稱此最小週期為 \(f\) 的基本週期，或簡稱做週期 .