皮亞諾公理

要構造自然數集，一個好的想法是想想，我們認為的自然數集應該有哪些性質？首先我們想到，自然數集應當是非空的，這樣我們的討論才有意義。進一步的來說，我們認為0應當是自然數集中的一個元素。以0作為起點，我們才可以數出1,2,3...既然如此，那我們不妨就將0屬於自然數當成一條不證自明的公理，這便是皮亞諾公理的第一條

公理1.1 \(0\in\mathbb{N}\) .

有了第一條公理，我們便可以思考自然數集還有哪些基本的性質。我們發現，此時我們只能確定自然數集中唯一一個元素“0”。而我們知道，自然數集中還有1,2,3...等元素。那麼如何引入這些元素，就成為了我們首先要解決的問題。

不妨思考一下我們數數的方式，由0開始，加一得到1，再加一得到2，以此類推。可以發現，加一是一個非常基本的運算。於是我們不妨引入實際上與加一相同的概念。

定義1.1 我們稱 \(n++\) 為 \(n\) 的後繼.

此處的後繼便與我們直覺中加一的概念相同。有了這個定義，我們便可以引入第二條公理

公理1.2 若 \(n\) 為自然數，則 \(n++\) 也為自然數.

看上去這條公理已經解決了問題，然而當我們用對映的觀點看待後繼，這條公理實質上與下列命題等價

(另一種寫法)公理1.2 \(\forall n\in\mathbb{N},\exists f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) .

可以看出，公理1.2只是說明了存在一個由\(\mathbb{N}\)到自身的對映\(f\),而我們希望這個對映有與我們此前討論的“加一”有著相同的性質，由此，我們引入了後面兩條公理，來對\(f\)

公理1.3 0不是任何數的後繼.

公理1.4 若\(n,m\in\mathbb{N},n\ne m\) ,則 \(n++\ne m++\) .

有了這兩條公理的確定，我們終於完善了後繼的性質，使得後繼滿足了我們對於“加一”的性質的直觀感受。

最後，自然數集還需要一條公理，來保證數學歸納法的成立

公理1.5 對於命題 \(P(x)\) ,若 \(P(0)\) 成立，且當我們假設 \(P(n)\) 成立時可以推出 \(P(n++)\) 也成立，則 \(\forall n\in\mathbb{N},\) \(P(n)\) 都成立.

這條公理直接保證了數學歸納法的正確性，因此，這條公理又被稱作“歸納公理”。

運用歸納公理，我們將證明下面這個重要命題

命題1.1 (遞迴) 若 \(\forall n\in\mathbb{N},\exists f_n:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\) ,設\(s\in\mathbb{N}\) ,那麼\(\forall n\in\mathbb{N},\exists!a_n\in\mathbb{N}\) 使得\(a_0=s\) 且\(a_{n++}=f_n(a_n)\) .

證明：運用數學歸納法，對 \(n\) 進行歸納。當 \(n=0\) 時，令\(a_0=s\) ;下設 \(n=k\) 時成立，則當 \(n=k++\) 時，由歸納假設，\(a_{k++}\) 由 \(f_k(a_k)\) 唯一確定，且 \(a_{(k++)++}\) 又由 \(f_{k++}(a_{k++})\) 唯一確定，這樣就證明了定理 \(\Box\)

以上這五條公理唯一確定了自然數集的基本性質。若一個集合不具有以上的性質，則這個集合就不能稱之為實數集。這五條公理被稱為皮亞諾公理。

用集合構造\(\mathbb{N}\)

知道了自然數的五條公理，那麼自然而然的，我們想要嘗試用集合的語言構造出自然數集。於是，我們有以下定義

定義1.2 \(0=\varnothing\)

定義1.3 \(n++=n\cup \{n\}=\{n,\{n\}\}\)

這樣我們便使用集合的語言給出了 \(\mathbb{N}\) 的一個模型。

當然，這種構造方式不是唯一的。例如

定義1.4 \(0=\varnothing\)

定義1.5 \(n++=\{n\}\)

如果這樣構造，那麼我們的 \(\mathbb{N}\) 就將會是

但是這並不重要，因為這兩種構造在這種定義下是同構的。

加法，乘法與乘方

擁有了自然數集，我們就可以嘗試自然數集上的運算了。我們將頻繁地使用遞迴，它將承擔一個類似於“計數器“的功能

定義1.6 \(\forall n,m\in\mathbb{N},0+m=m\) ，現在歸納地假設 \(n+m\) 已經被定義，定義 \((n++)+m=(n+m)++\) .

我們可以通過一個例子來說明這個定義的合理性

命題1.2 \(2+3=5\)

證明：由定義知

\[\begin{equation} \begin{aligned} 2+3&=(1++)+3\nonumber\\ &=(1+3)++\\ &=[(0++)+3]++\\ &=[(0+3)++]++\\ &=(3++)++\\ &=4++\\ &=5\qquad\qquad\qquad\ \ \ \Box \end{aligned} \end{equation} \]

在這個例子中，我們可以看出，每遞迴一次，我們就將答案加上一個後繼，遞迴完成後，我們就加上了我們想要次數的後繼。通過這個定義，我們可以證明一些加法基本性質。

命題1.3(加法交換律) \(n+m=m+n\)

為了證明這個命題，我們先證明兩個個引理

引理1.1 \(n+0=0\)

證明：對 \(n\) 進行歸納。當 \(n=0\) 時， \(0+0=0\) ,假設當 \(n=k\) 時成立，下證 \(n=k++\) 時成立。

\[(k++)+0=(k+0)++=(k)++=k++\qquad\qquad\Box \]

引理1.2 \(n+(m++)=(n++)+m\)

證明：對 \(n\) 進行歸納。當 \(n=0\) 時，

\[0+(m++)=m++=(0+m)++=(0++)+m \]

假設當 \(n=k\) 時成立，下證 \(n=k++\) 時成立。

\[(k++)+(m++)=[k+(m++)]++=[(k++)+m]++=[(k++)++]+m \]

由歸納法得證明完畢。 \(\Box\)

現在我們來證明命題1.3

證明：對 \(n\) 進行歸納。當 \(n=0\) 時，由引理1.1，\(0+m=m+0\) .下設 \(n=k\) 時結論成立，證明 \(n=k++\) 時成立。

\[(k++)+m=(k+m)++=(m+k)++=(m++)+k=m+(k++) \]

這樣就證明了結論 \(\Box\)

類似的，可以證明關於加法的其他結論。

乘法與乘方的定義與加法類似，也是使用遞迴的方法定義

定義1.7 \(\forall n,m\in\mathbb{N},0\times m=0\) 現在歸納地假設 \(n\times m\) 已經定義，則 \(n++\times m=n\times m+m\)

運用歸納法，同樣可以證明它的一些基本性質。乘方的定義是類似的

定義1.8 \(\forall n,m\in\mathbb{N},n\ne0,n^0=1\) 現在歸納地假設 \(n^m\) 已被定義，則\(n^{m++}=n^m\times n\)