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介於網上唯一一篇 PGF 實在過於簡略，且他的碼風使我大受震撼，因此我決定自己寫一篇

【大意】

初始給定序列 \(\{a_{n-1}\}\) 與 \(\{c_n\}\) ，從 \(1\) 到 \(n\) 構建一顆樹：

對於當前點 \(i\) ，它有 \(\displaystyle {a_j\over \sum_{t=1}^{i-1} a_t}\) 的概率連向 \(j\) ，當該事件發生時， \((i, j)\) 的邊長為 \((c_i+c_j)\)

現在 \(Q\) 次詢問，每次詢問輸出 \(u\) 到 \(v\) 的距離期望

【分析】

先定義概率型生成函式 PGF ：

假定對於離散型隨機事件 \(X\)

根據概率的性質，顯然有 \(P(1)=1\) 時，\(\displaystyle \sum_{i=0}^\infty p_i=1\) ，則 \(\displaystyle E(X)=\sum_{i=0}^\infty ip_i=\sum_{i=1}^\infty ip_i=P'(1)\)

對於該題，由於詢問內容是距離的期望，因此我們假設 \((u, v)\) 距離的 PGF 為 \(\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^\infty P[dis(u, v)=i]x^i\)

不妨設 \(u<v\) ，一邊相連的兩點中，數值較大的為孩子節點，且為了方便，記 \(\displaystyle s_n=\sum_{i=1}^n a_i\)

考慮列舉 \((u, v)\) 的最近公共祖先 \(k\)，則顯然 \(k\leq u\)

當 \(k=u\) 時，不妨假設中間仍連著 \(\{w1, w2, \cdots , wm\}\) 若干個點

則該情況的概率為 \(\displaystyle {a_u\over s_{w1-1}}\cdot {a_{w1}\over s_{w2-1}}\cdots {a_{wm}\over s_{v-1}}={a_u\over s_{v-1}}\prod_{i=1}^m {a_{wi}\over s_{wi-1}}\)