UOJ 455. 雪災與外賣

考慮到球 \(a\)，匹配前面的一個洞後應該考慮：

• 後面有一個球來搶洞：該球失配，非法。
• 後面有一個洞來搶球：令當前匹配費用為 \(x_a+t\)，則相當於讓後面的洞匹配了一個權值為 \(-2x_a-t\) 的球。

考慮到洞 \(b\)，匹配前面的一個球后應該考慮：

• 後面有一個球來搶洞：令當前匹配費用為 \(x_b+w_b+t\)，則相當於讓後面的球匹配了一個權值為 \(-2x_b-t\) 的洞。
• 後面有一個洞來搶球：令當前匹配費用為 \(x_b+w_b+t\)，則相當於讓後面的洞匹配了一個權值為 \(-x_b-w_b\) 的球。

注意到因為一個洞會出現很多次，所以可以多次考慮匹配，當匹配不優的時候就把剩下的洞一股腦的丟進堆裡即可。

程式碼：提交記錄 #507879 - Universal Online Judge (uoj.ac)

ICPC World Finals 2018 征服世界

在 lca 統計貢獻，如果堆頂可以使得答案更小那麼更新（注意到因為要求所有球必須進洞，所以最開始給每個球一個極小附加權值保證每個球都會被匹配），同時新增反悔。

注意到因為兩個匹配點不可能同時反悔（不會使得答案變優），所以總共需要處理的球和洞的級別是軍隊總數的，時間複雜度 \(O(S\log S)\) 。

程式碼：提交記錄 #1254764 - LibreOJ (loj.ac)

NOI2019 序列

依次加入 \(a_i\)，考慮增廣路怎麼走：

• \(S\rightarrow a_i\) 然後 \(a_i\rightarrow b_i\) 最後 \(b_i\rightarrow T\) 。 （走第一類匹配邊）
• \(S\rightarrow a_i\)，然後 \(a_i\) 走附加邊去到某個 \(b\) 後去 \(T\) 。（走第二類匹配邊）
• \(S\rightarrow a_i\) 然後 \(a_i\rightarrow b_i\)，接著沖掉之前和 \(b_i\) 匹配的點，走附加點回到 \(a_j\)，對應點 \(a_j\) 走對應的 \(b_j\) 到 \(T\) 。（走第一類匹配邊衝第二類匹配邊變為第一類匹配邊）
• \(S\rightarrow a_i\)
  然後 \(a_i\rightarrow b_i\)，接著沖掉之前和 \(b_i\) 匹配的點，走到附加點尋找新的匹配 \(b_k\) 走到 \(T\) 。（走第一類匹配邊衝第二類匹配邊變為第二類匹配邊）
• \(S\rightarrow a_i\)，然後 \(a_i\) 走附加邊去對面選點，沖掉之前走附加邊的某個 \(a_j\)，讓 \(a_j\) 走 \(b_j\) 到 \(T\) 。（走第二類匹配邊衝第二類匹配邊變為第一類匹配便）

一共五種簡單的增廣路（注意到不會有 "走第二類匹配邊衝第二類匹配邊變為第二類匹配邊" 的情況，這種情況和 "走第二類匹配邊" 沒有區別，因為不關心誰匹配了誰）。

注意到正常描述增廣路的方式應該是 "在左右點亂跳，然後最後跳到 \(T\) 表示找到一對新的匹配"，看樣子不能簡單歸為上面五種。

但其實對於這樣的增廣路，可以先找到重複點直接 匹配，容易發現這樣子肯定不會變劣，所以最開始就不會出現左右部點重複的情況。接著考慮剩下的東西，注意到模擬費用流時，存下來的反悔方案都不用具體地表示出增廣路：這意味著，我們知道左右部匹配了多少點，但是不用關心具體怎麼匹配的（事實上模擬費用流都是這樣的）。所以我們認為新增節點的時候，只需要討論上述五種簡單的增廣路。

討論一下這五類增廣路碰到的點的狀態：

• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 未匹配：\(a_i+b_i\) 最大。
• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 不管；\(a_j\) 不管，\(b_j\) 未匹配：\(a_i+b_j\) 最大。
• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配；\(a_j\) 已匹配，\(b_j\) 未匹配：\(a_i+b_j\) 最大。
• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配；\(a_j\) 已匹配，\(b_j\) 不管；\(a_k\) 不管，\(b_k\) 未匹配：\(a_i+b_k\) 最大。
• \(a_i\) 已匹配，\(b_i\) 未匹配；\(a_j\) 不管，\(b_j\) 已匹配；\(a_k\) 未匹配，\(b_k\) 不管：\(a_k+b_i\) 最大。

可以發現後兩條中間的 \(a_j\) 其實不需要討論，此時只需要維護：

• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 未匹配：\(a_i+b_i\) 最大。
• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 已匹配：\(a_i\) 最大。
• \(a_i\) 已匹配，\(b_i\) 未匹配：\(b_i\) 最大。
• \(a_i\) 未匹配，\(b_i\) 不管：\(a_i\) 最大。
• \(a_i\) 不管，\(b_i\) 未匹配：\(b_i\) 最大。

將所有的 \(i\) 分為了五類，用五個堆維護，然後模擬五種增廣路帶來的影響即可。

程式碼：提交記錄 #1256954 - LibreOJ (loj.ac)

考慮增廣路好像還要有順序的，如果順序錯了就是過不去？我是真的不懂。