《<遇到困難睡大覺>命題報告》學習筆記

簡要題意

給定 \(n,k,\{(a_i,b_i)\}_{i=1}^n\)，求出 \(\max\{\min_{i=1}^n\{a_{p_i}+ik\}-\max_{i=1}^n\{b_{p_i}+ik\}|p\in \mathfrak{S}_n\}\)。\(1\leq a_i,b_i\leq 10^9,kn\leq 10^9,1\leq n\leq 10^5\)。

題解

答案等價於 \(\max\{\min_{i=1}^n\{a_i+q_ik\}-\max_{i=1}^n\{b_i+q_ik\}|q\in \mathfrak{S}_n\}\)。進一步地，可以發現答案只與排列中的相對位置有關，於是 \(q\)

考慮列舉 \(M=\max\{b_i+q_ik\}\)，可以得到 \(q_i\) 的上界：\(\forall i,q_i\leq r_i=\left\lfloor\frac{M-b_i}{k}\right\rfloor\)。根據貪心策略，此時選擇最大的有解的 \(t\) 一定最優。由 Hall 定理，此時 \(t=\min_{i=1}^n\{r_i-i+1\}\)。同時，注意到當 \(M\) 增加 \(k\) 時，\(r_i\) 和 \(t\) 都會增加 \(1\)

二分答案 \(mid\)，列舉 \(M\in[0,k-1]\)，可以得到 \(q_i\) 的上下界：\(\forall i,l_i=\max\{\left\lceil\frac{M+mid-a_i}{k}\right\rceil,t\}\leq q_i\leq r_i=\min\{\left\lfloor\frac{M-b_i}{k}\right\rfloor,t\}\)。由 Hall 定理，此時有解當且僅當不存在一個區間 \([l,r](l\leq r)\)，使得 \(s(l,r)>r-l+1\)，其中 \(s(l,r)\)

注意到 \(t\) 在 \(M\) 從 \(0\) 到 \(k-1\) 列舉的過程中只會增加 \(1\)（或不變），不妨設為從 \(t'\) 變為 \(t'+1\)，變化的時間為 \(tt\)（若不變，則為 \(\infty\)）。接下來，只需要分別對 \(M\in[0,tt-1],t=t'\) 與 \(M\in[tt,k-1],t=t'+1\) 分別判斷即可。

考慮對 \(M\in[L,R]\) 和確定的 \(t\) 進行判斷。注意到 \(R-L+1<=k\)，於是 \(l_i,r_i\) 在 \(M\) 從 \(L\) 到 \(R\) 列舉的過程中只會增加 \(1\)（或不變），不妨分別設為從 \(l_i',r_i'\) 變為 \(l_i'+1,r_i'+1\)，變化的時間為 \(tl_i,tr_i\)（若不變，則為 \(\infty\)）。

對 \(r_i\) 進行排序。記 \(q(i,j)=r_j-l_i+1-s(l_i,r_j)\)，那麼有解當且僅當不存在 \(i<j\) 使得 \(q(i,j)<0\)。注意到 \(l_i\) 之間、\(r_i\) 之間的相對順序不會改變，於是 \(s(l_i,r_j)\) 不會改變。那麼只需要對 \(q'(i,j)=r_j'-l_i'+1-s(l_i,r_j)\) 進行分類討論：

• 當 \(q'(i,j)<-1\) 時，恆非法；
• 當 \(q'(i,j)=-1\) 時，當且僅當 \(tr_j\leq M<tl_i\) 時合法；
• 當 \(q'(i,j)=0\) 時，當且僅當 \(tl_i\leq M<tr_j\) 時非法；
• 當 \(q'(i,j)>0\) 時，恆合法。

注意到固定 \(j\) 時，同種限制取最小的 \(tl_i\) 一定最緊。於是可以從小到大列舉 \(r_j'\)，用線段樹維護 \(q'(i,j)\) 的最小值和次小值以及此時分別對應的最小的 \(tl_i\)（這樣當不存在 \(q'(i,j)<-1\) 的情況時能得到所有限制）。

最終會得到 \(O(n)\) 個限制，對於 \(q'(i,j)=-1\) 得到的限制可以輕鬆求出它們的交，然後將 \(q'(i,j)=0\) 得到的限制排序後和前面求得的交進行對稱差判斷即可。

時間複雜度 \(O(n\log n\log A)\)，其中 \(A\) 是答案的值域大小（此題中為 \(2\times10^9\)）。