遇到困難睡大覺

如果強制所有的 \(b_{p_i}+i\times k\) 不超過給定的 \(M\)

這是可以將所有 \(r_i\) 排序後用堆找到最有決策，列舉 \(1\sim n\) 的每個 \(b_i\) 放到 \(1\sim n\) 的每個位置，要進行一共 \(\Theta(n^2)\) 種 \(M\) 的判定，複雜度 \(\Theta(n^3\log n)\)

上面的貪心過程還可以被刻畫成按照 \(r_i\) 從小到大，\(a_i\) 從大到小找一個空位，每次找合法區間裡面最大的即可，可以使用並查集來優化，可以去掉 \(\log\)

接下來的每個部分都需要一定程度的觀察

考慮到 \(r_i\) 的相對大小關係是和 \(M\) 無關的，而題目中所需求的 \(\min\{a_{p_i}+i\times k\}-\max\{b_{p_i}+i\times k\}\) 是和 \(i\) 的相對大小而非絕對大小相關的，所以我們大可將下標平移到 \(t\sim t+n-1\) 來做，也就是說 \(r_i\) 不受制於 \(1\sim n\) 了，只要是連續的 \(n\) 個正整數即可

觀察到 \(M\to M+k\) 時每個 \(r_i\) 都增加了 \(1\) 但是這和不增加時問題本質相同，所以原來要判定 \(\Theta(n^2)\)

考察 “每個數字填入一個位置，同時受一個填入右端點限制” 發現這和二分圖匹配是完全相同的，那麼問題就是找到存在的合法完美匹配中最大的 \(\min\{a_{p_i}+i\times k\}\)

首先判定是否存在一個完美匹配，使用 \(\rm Hall\) 定理可以發現將 \(r_i\) 排序之後得到 \(t=\min\{r_i-i+1\}\) 就是最大值

注意 \(r_i\) 在 \(M\) 固定時界還要和 \(t+n-1\) 取 \(\min\)，所以選擇最大的 \(t\) 判定即可，那麼判定數量降至 \(\Theta(\min\{n,k\}n)\)，可以得到 \(50\) 分

嘗試二分最後的答案 \(\rm mid\)，那麼每個元素還會有放置的上界 \(l_i=\lceil\frac{M+mid-a_i}k\rceil\)，仍然根據 \(\rm Hall\) 定理，設 \(s(l,r)\) 表示被 \([l,r]\) 包含的 \((l_i,r_i)\) 個數，如果滿足 \(r-l+1-s(l,r)\ge 0\) 那麼存在完美匹配

非常直接的做法還是列舉每個要判定的 \(M\)，求出來 \(l_i,r_i\) 並二維數點即可

最終的標算是考慮 \(M\in[0,k)\) 不斷增加的過程中 \(l_i,r_i\) 只會增加一次，記其為 \(tl_i,tr_i\)，問題變成了找到合法的 \(M\)，設 \(q(l,r)=r-l+1-s(i,j)\)

其實本質上需要考慮的 \((l,r)\) 是不同的 \(s(l,r)\)，也可以寫作 \(i,j\in[1,n],s(l_i,r_j)\)，上面說得很清楚相對大小是不變的，那麼 \(s(l_i,r_j)\) 不變，仍然可以掃描線，而變的是 \(l_i,r_j\)，分別在 \(tl_i,tr_j\) 處變

如果存在 \(q(l_i,r_j)<-1\) 一定不合法，同時也不用考慮 \(q(l_i,r_j)>1\) 的 \(i,j\)，

對於 \(q(l,r)=-1\) 的情況，當 \(r\) 增大且 \(l\) 沒增大的時候合法，否則不合法

對於 \(q(l,r)=0\) 的情況，當 \(l\) 增大且 \(r\) 沒增大時不合法，否則合法

那麼發現對於相同的 \(r\) 取 \(l\) 變化時間最小者（\(\min\{tr_i\}\)）就是最緊的限制

具體而言，要求的是 \(q(l,r)\) 的最小值，線上段樹上按照 \(l_i\) 的從小到大每個葉子上放 \((-l_i,\Delta l_i)\)，同時維護區間最小的 \(-l_i\) 和對應最小的 \(\Delta l_i\)

注意我們需要取出的是可能的 \(q(i,j)=0/-1\) 的限制，那麼需要維護 \(l_i\) 最小和次小兩個二元組，真實的 \(q(i,j)\) 還要加上當前的 \(r_i+1\)

對應的修改操作就是遇到一個 \(r_i\) 就給 \([1,l_i]\) 這個區間減一來表示更新 \(s(l,r)\)

這樣子我們就在 \(\Theta(n\log n\log A)\) 的時間複雜度內解決了這個問題