初代 Apple Watch 被列入蘋果公司“復古過時產品”名單
阿新 • • 發佈：2021-10-03
二維樹狀陣列可以實現在平面上的區域加、區域查詢等操作。
區域修改
我們在一維時維護樹狀陣列的區間操作時，對其進行了差分。類比一維的思想，我們在二維平面上也對樹狀陣列差分。
我們來看二維的字首和：
\[sum(i,j)=sum(i-1,j)+sum(i,j-1)-sum(i-1,j-1)+a(i,j) \]可以使二維差分陣列為這樣的形式：
\[d(i,j)=a(i,j)-d(i-1,j)-d(i,j-1)+d(i-1,j-1) \]（發現了吧，這其實就是）
比如我們有一下這個全為 \(0\) 的矩陣，那麼給中間 \(2\times 3\) 的矩陣差分後長成這樣：（“o” 表示操作區域）
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o 0 -> 0 +x 0 0 -x 0 o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -x 0 0 +x
這樣我們就簡單地完成了區域加的操作。
區域查詢
根據差分陣列的定義，我們不難發現，對於點 \((x,y)\) ，它的二維字首和就是:
\[\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y\sum_{h=1}^i\sum_{k=1}^j d[h][k] \]但我們類比一下一維樹狀陣列的區間求和，我們亦可以統計每個 \(d[h][k]\) 出現的次數，我們就可以發現 \(d[1][1]\) 出現了 \((x\times y)\) 次，\(d[1][2]\) 出現了 \(x\times(y-1)\) 次……\(d[h][k]\) 出現了 \((x-h+1)\times (y-k+1)\) 次。
則原式整理得：
分解得：
\[\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y d[i][j]\times [(xy-xj+x)+(-yi+ij-i)+(y-j+1)] \]最後得：
\[\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y d[i][j]\times (xy+x+y+1)-d[i][j]\times i(y+1)-d[i][j]\times j(x+1)+d[i][j]\times i\times j \]根據我們最後分解出來的公式，我們需要維護四個陣列 \(d[i][j],d[i][j]\times i,d[i][j]\times j,d[i][j]\times i\times j\)
例題 — P4514 上帝造題的七分鐘
即二維樹狀陣列裸題。
$\texttt{code}$
咕咕咕