Mutual Information Neural Estimation

互資訊定義：

\(I(X;Z) = \int_{X \times Z} log\frac{d\mathbb{P}(XZ)}{d\mathbb{P}(X) \otimes \mathbb{P}(Z)}d\mathbb{P}(XZ)\)

CPC文章裡用下面這個公式定義要更加容易理解，都是一樣的：

\[I(x;z) = \sum_{x,z}p(x,z) log \frac{p(x,z)}{p(x)p(z)} \]

互資訊越大，表明兩個變數依賴關係越強，互資訊越小，表示兩個隨機變數越獨立。

KL散度的對偶問題：

因此根據KL散度和其對偶問題之間的關係我們可以得到：

\[D_{K L}(\mathbb{P} \| \mathbb{Q}) \geq \sup _{T \in \mathcal{F}} \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[T]-\log \left(\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[e^{T}\right]\right) \]

利用上式優化互資訊的下界：

\[I(X ; Z) \geq I_{\Theta}(X, Z) \]\[I_{\Theta}(X, Z)=\sup _{\theta \in \Theta} \mathbb{E}_{\mathbb{P}_{X Z}}\left[T_{\theta}\right]-\log \left(\mathbb{E}_{\mathbb{P}_{X} \otimes \mathbb{P}_{Z}}\left[e^{T_{\theta}}\right]\right) \]

優化演算法：

一般來說z的分佈用高斯分佈，x和z的分佈(marginal distribution)都好取樣；

對於joint distribution，用一個神經網路來建模，即F(x,z)，然後其結果就是joint distribution的取樣了。

代入公式計算即可。

class Mine(nn.Module):
    def __init__(self, input_size=2, hidden_size=100):
        super().__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_size, hidden_size)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_size, 1)
        
    def forward(self, input):
        output = F.elu(self.fc1(input))
        output = F.elu(self.fc2(output))
        output = self.fc3(output)
        return output

def mutual_information(joint, marginal, mine_net):
    t = mine_net(joint)
    et = torch.exp(mine_net(marginal))
    mi_lb = torch.mean(t) - torch.log(torch.mean(et))
    return mi_lb, t, et