高等數學之一元函式微分學
一元函式微分學
導數與微分
1.1 導數的概念及其幾何意義
2.3.1 導數的定義
導數第一定義式：\(\begin{aligned} f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}\)
導數第二定義式：\(\begin{aligned} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{aligned}\) (用來求可導性)
推廣式：\(\begin{aligned} \frac{a-b}{c}f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0 + a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{c\Delta x} \end{aligned}\)
eg: 設\(\begin{aligned}f'(x_0)=2,則\lim\limits_{n\to\infty}n \cdot[f(x_0+\frac{3}{n})-f(x_0)] \end{aligned}\) = _____
解: n * x,就等於\(\begin{aligned}\frac{x}{\frac{1}{n}}\end{aligned}\) ,所以
\(\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{[f(x_0+\frac{3}{n})-f(x_0)]}{\frac{1}{n}}\end{aligned} = 3\)
\(\begin{aligned}3f'(x_0) = 6\end{aligned}\)
中值定理及導數的應用
2.1 羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日
挖坑
2.2 洛必達(L’Hospital)法則
挖坑
2.3 導數的應用
目標：會利用導數判定函式的單調性，會求函式的單調區間，會利用函式的單調性證明一些簡單的不等式。理解函式極值的概念，會求函式的極值和最值，會解決一些簡單的應用問題。
2.3.1 函式的單調性
- 求函式的定義域
- 求\(f'(x)\),也就是求出函式的導數
- 令\(f'(x)\)= 0, 求出駐點和不可導點（不在定義域內的要捨去）
- 列表判斷
eg：
求\(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2\)的單調性.
解:
-
\(f(x)\)的定義域為\((-∞,+∞)\)
-
\(f'(x)\)為\(f(x)=3x^2-12x+9\) 得\(3(x-1)(x-3)\)
-
\(f'(x)=3(x-1)(x-3)=0\) 得駐點為：\(x_1=1,x_2=3\)
-
最後列表討論
\(x\) \((-∞,1)\) \((1,3)\) \((3,+∞)\) \(f'(x)\) \(+\) \(-\) \(+\) \(f(x)\) \(↑\) \(↓\) \(↑\) 可以看出，單調增區間：\((-∞,1)\)、\((3,+∞)\) 單調減區間：\((1,3)\)
2.3.2 函式的極值
與2.3.1相同解法
例題如下：
求\(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2\)的單調性.
| \(x\) | \((-∞,1)\) | 1 | \((1,3)\) | 3 | \((3,+∞)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(↑\) | 2 | \(↓\) | -2 | \(↑\) |
得到最大值 2 最小值-2
2.3.3 函式的最值
- 求函式的定義域
- 求端點值和極值
- 比較以上函式值$\begin{cases} 最大=>最大值\ 最小=>最小值\end{cases} $
eg：
求\(y=x^4-8x+2 \ \ \ \ (-1<=x<=3)\)
當x=-1時 y=-5
當x=3時 y=11
求極值 令\(f'(x) = 0\)
\(f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)\)
得駐點：\(x_1 = 0,x_2=-2(捨去),x_3=2\)
當x=0時y = 2
當x=2時y=-14
得：最大值為y(3) = 11,最小值y(2) = -14
2.3.4 單調性證明不等式
步驟：
- 把左邊的移到右邊得到f(x)
- 求導判斷單調性
eg: 當x>0時,\(cosx>1-\frac{x^2}{2}\)
令\(f(x)\) = \(cosx- 1 +\frac{x^2}{2}\)
則\(f'(x)=-sinx+x=x-sinx\),由於x>sinx ,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)單調遞增.
又\(f(x)\)的最小值\(f(0)=0\)
所以x>0時,f(x)>0成立
即x>0時,\(cosx>1-\frac{x^2}{2}\)成立
$f(x)>f(0)=f(x)>0 = $$cosx- 1 +\frac{x^2}{2}>0$
一些可以直接拿來用的不等式：
\(當0<x<\frac{π}{2}時,sinx<x<tanx\)
\(當x>0時,ln(1+x)<x\)
2.3.5 方程根的個數
挖了
2.3.6 二階導
\(\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} \end{aligned}\)
2.4 曲線
目標：會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點，會求曲線的漸近線(水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線)。
2.4.1 凹凸性和拐點
概念：
- 凹凸性：判斷：$\begin{cases} f''(x)>0,f(x)凹\ f''(x)<0,f(x)凸\end{cases} $
- 拐點：曲線凹凸性發生改變的點，是個函式座標，記作（x,f(x))。一般為\(f''(x)=0\)的點，\(f''(x)\)不存在的點。
做題方法：
- 確定函式的定義域
- 求\(f''(x)\),且令\(f''(x)=0\)或\(f''(x)\)不存在的點。
- 列表分割定義域，討論子區間\(f''(x)\)的正負性：$\begin{cases} f''(x)>0,f(x)凹\ f''(x)<0,f(x)凸\end{cases} $
eg: 設\(f(x)=x^4-6x^3+12x^2-6\)的凹凸性和拐點
解：
-
\(f(x)\)的定義域為\((-∞,+∞)\)
-
\(f''(x)=12(x-1)(x-2)\) 得 \(x_1=1,x_2=2\)
-
列表討論
\(x\) \((-∞,1)\) 1 \((1,2)\) 2 \((2,+∞)\) \(f''(x)\) \(+\) 0 \(-\) 0 \(+\) \(f(x)\) 凹 拐點(1,1) 凸 凹
由此可得：凹區間有\((-∞,1)\)、\((2,+∞)\)，凸區間：\((1,2)\)
拐點有：(1,1)，(2,10)
2.4.2 曲線的漸近線
若\(\lim_{n\rightarrow\infty}f(x)=c\),則y = c為水平漸近線
若\(\lim_{n\rightarrow a}f(x)=∞\),則x = a為垂直漸近線
若\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=a≠0\),且則\(\lim_{n\rightarrow\infty}[f(x)-ax]=b\),則y = ax+b為斜漸近線