一元函式微分學的物理應用

溶液自深為18cm，上端圓的直徑為12cm的正圓錐形漏斗中，漏入一直徑為10cm的圓柱形筒中，開始時漏斗中盛滿了溶液，已知當溶液在漏斗中深為12cm時，其液麵下落的速率為1cm/min，問此時圓柱形筒中的頁面上升的速率是多少？

解：設圓柱形筒中頁面的高度為\(H\)，同一時刻漏斗中頁面的高度為\(h\)，半徑為\(r\)，它們都是關於時間\(t\)的函式，\(H=H(t)\)，\(h=h(t)\)，\(r=r(t\))，本題所求的是圓柱體中液麵上升的速率\(\frac {dH}{dt}\)，已知的是\(\frac {dh}{dt}=-1\)，\(\frac {h}{18}= \frac {r}{6}\)

兩邊同時對\(t\)求導，得

代入數值得，\(\frac{dH}{dt}=\frac{16}{25}\)cm/min

一元函式積分學的物理應用

總路程：\(S=\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt\)

變力直線做功：\(W=\int_a^b F(x) dx\)

提取物體做功：\(W=\int_a^b \rho{g}xA(x) dx\)

靜水壓力：\(P=\int_a^b \rho{g}x \cdot [f(x)-h(x)] dx\)

細杆質心：\(\bar{x}=\frac {\int_a^b x\rho(x) dx}{\int_a^b \rho(x) dx }\)